Integrate [log(1+x)/x, {x, -1, 1}]

$$I={\int }_{-1}^1\frac{\log (1+x)}{x}dx=\frac{{\pi }^2}{4}$$

그림과 같은 경로에서 $$f(z)=\frac{\log (1+z)}{z}$$의 적분을 수행하자. $z=1$은 $f(z)$의 simple pole임과 동시에 $\log (1+z)$의 branch point이다. $-\pi \le \arg (1+z)\le \pi$

폐경로 내부에서 analytic하므로 $${\int }_{-1+r_{ϵ}}^{1}f(x)dx+{\int }_{\mathrm{\Gamma }}+{\int }_{{\gamma }_{ϵ}}=0$$

반원 $\mathrm{\Gamma }$에서 $z=e^{i\theta }(\theta :0\to \pi -ϵ)$이므로

$$\begin{array}{rl}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}f(z)dz& ={\int }_0^{\pi -ϵ}\frac{\log (1+e^{i\theta })i{e}^{i\theta }d\theta }{e^{i\theta }}\\ & =i{\int }_0^{\pi -ϵ}[\log (2\cos \frac{\theta }{2})+i\frac{\theta }{2}]d\theta (\leftarrow 1+e^{i\theta }=2\cos \frac{\theta }{2}{e}^{i\theta /2})\\ & =i{\int }_0^{\pi -ϵ}\log (2\cos \frac{\theta }{2})d\theta -\frac{(\pi -ϵ{)}^2}{4}\\ & \to -\frac{{\pi }^2}{4}\text{as}ϵ\to 0\end{array}$$

여기서 $${\int }_0^{\pi }\log (2\cos \frac{\theta }{2})d\theta =0$$임을 사용했는데, $${\int }_0^{\pi /2}\log (\sin t)dt={\int }_0^{\pi /2}\log (\cos t)dt(=-\frac{\pi }{2}\log (2))$$를 이용하면 쉽게 보일 수 있다. $z=-1$ 둘레의 미소원은 반지름이 $r_{ϵ}=2\sin (ϵ/2)=ϵ$이므로 $z+1=r_{ϵ}{e}^{i\theta }(\theta :0\to \frac{\pi -ϵ}{2})$로 매개화시키면 

$$\begin{array}{c}{\int }_{{\gamma }_{ϵ}}f(z)dz={\int }_0^{\frac{\pi -ϵ}{2}}\frac{\log (r_{ϵ}{e}^{i\theta })}{-1+r_{ϵ}{e}^{i\theta }}i{e}^{i\theta }d\theta \\ =i{r}_{ϵ}\log r_{ϵ}{\int }_0^{\frac{\pi -ϵ}{2}}\frac{e^{i\theta }d\theta }{-1+r_{ϵ}{e}^{i\theta }}-r_{ϵ}{\int }_0^{\frac{\pi -r_{ϵ}}{2}}\frac{\theta e^{i\theta }d\theta }{-1+r_{ϵ}{e}^{i\theta }}\to 0\end{array}$$

따라서 $ϵ\to 0$일 때 $$I=\frac{{\pi }^2}{4}$$