Integration along a branch cut-036

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{1+x^3}=\frac{2\sqrt{3}}{9}\pi$$

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log xdx}{1+x^3}=-\frac{2}{27}{\pi }^2$$

함수 $$f(z)=\frac{(\log z{)}^2}{1+z^3}$$을 그림과 같은 key hole 경로에서 적분을 하자.

$z=-1,e^{i\pi /3},e^{i5\pi /3}$은 $f(z)$의 simple pole이고, $z=0$은 branch point이므로 그림과 같이 cutline을 선택했다. 그러면 위상은 $0\le \arg (z)\le 2\pi$로 선택할 수 있다. residue는 

$$\text{Res}f(e^{i\pi })=\frac{(\log e^{i\pi }{)}^2}{(e^{i\pi }-e^{i\pi /3})(e^{i\pi }-e^{i5\pi /3})}=-\frac{{\pi }^2}{3}$$

$$\text{Res}f(e^{i\pi /3})=\frac{(\log e^{i\pi /3}{)}^2}{(e^{i\pi /3}-e^{i\pi })(e^{i\pi /3}-e^{i5\pi /3})}=\frac{{\pi }^2}{54}(1+i\sqrt{3})$$

$$\text{Res}f(e^{i5\pi /3})=\frac{(\log e^{i5\pi /3}{)}^2}{(e^{i5\pi /3}-e^{i\pi })(e^{i5\pi /3}-e^{i\pi /3})}=\frac{25{\pi }^2}{54}(1-i\sqrt{3})$$

그리고 $C_1$에서 $z=x{e}^{i0}(x:0\to \mathrm{\infty })$, $C_2$에서 $z=x{e}^{i2\pi }(x:\mathrm{\infty }\to 0)$이므로 

$$\begin{array}{c}{\int }_{C_1+C_2}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{(\log x{)}^{2}dx}{1+x^3}+{\int }_{\mathrm{\infty }}^0\frac{(\log x+i2\pi {)}^{2}dx}{1+x^3}\\ =4{\pi }^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{1+x^3}-4\pi i{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log xdx}{1+x^3}\end{array}$$

그리고 $C_{ϵ}$에서는 $ϵ\log ϵ\to 0$, $C_{\mathrm{\infty }}$에서는 $\log R/R^2\to 0$이므로 0으로 수렴한다. 따라서 Residue 정리를 쓰면 다음을 얻을 수 있다.

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{1+x^3}=\frac{2\sqrt{3}}{9}\pi$$

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log xdx}{1+x^3}=-\frac{2}{27}{\pi }^2$$