Integration along a branch cut-038

$$I={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log xdx}{x^3-1}=\frac{4}{27}{\pi }^2$$

함수 $$f(z)=\frac{\log z}{z^3-1}$$을 그림과 같은 경로에 적분하자.(참고: https://kipl.tistory.com/670)

$z=0$은 branch point이므로 그림과 같이 cutline을 선택한다. 그리고 $z=1$은 removable singularity이므로 별다른 처리가 필요없고( $\frac{\log x}{x^3-1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{2}(x-1{)}^2+...$). $C_{\mathrm{\infty }}$와 $z=0$을 감싸는 ${\gamma }_1$에서 적분은 0에 수렴한다. $z=e^{i2\pi /3}$은 simple pole로 경로 ${\gamma }_2$처럼 우회한다. 그러면 경로 ${\gamma }_2$에서 $z=e^{i2\pi /3}+ϵe^{i\theta }$이므로 $${\int }_{{\gamma }_2}={\int }_{2\pi /3}^{-\pi /3}\frac{\log (e^{i2\pi /3})(iϵe^{i\theta }d\theta )}{ϵe^{i\theta }(e^{i2\pi /3}-1)(e^{i2\pi /3}-e^{i4\pi /3})}=\frac{2{\pi }^2}{9}{e}^{i2\pi /3}$$ $C_1$에서는 $z=x(x:0\to \mathrm{\infty })$이므로 $${\int }_{C_1}f(z)dz=I$$ $C_2+C_3$에서는 $z=e^{i2\pi /3}x=e^{i2\pi /3}x(x:\mathrm{\infty }\to 0)$이므로 $$\begin{array}{c}{\int }_{C_2+C_3}={\int }_{\mathrm{\infty }}^0\frac{\log (x{e}^{i2\pi /3})e^{i2\pi /3}dx}{x^3-1}=-e^{i2\pi /3}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x+i\frac{2\pi }{3}}{x^3-1}dx\\ =-e^{i2\pi /3}(I+i\frac{2\pi }{3}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^3-1})=-e^{i2\pi /3}(I+i\frac{2\pi }{3}J)\end{array}$$ $J={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^3-1}=-\frac{\sqrt{3}}{9}\pi$ 이므로(https://kipl.tistory.com/670)  $$\begin{array}{c}\oint f(z)dz=0\to (1-e^{i2\pi /3})I-i\frac{2\pi }{3}{e}^{i2\pi /3}J+\frac{2{\pi }^2}{9}{e}^{i2\pi /3}=0\\ I=\frac{e^{i2\pi /3}}{1-e^{i2\pi /3}}(-i\frac{2\pi }{3}J-\frac{2{\pi }^2}{9})=\frac{4}{27}{\pi }^2\end{array}$$