미끄러지지 않을 조건은?

막대의 한쪽 끝을  매우 서서히 위로 밀어서 세우려 한다. 힘 방향이 막대에 항상 수직이게 작용할 때 바닥에 접촉하는 막대의 끝이 미끄러지지 않으려면 마찰계수는 얼마이어야 하는가?

풀이:

매우 서서히 움직인다고 했으므로 준정적평형상태(quasistatic equilibrium)로 생각할 수 있다. 막대(길이=$\ell$, 무게=$W$)가 수평과 $\theta$ 각을 이룰 때 작용하는 힘을 $F$(가변적이다)라면

$$\sum F_x=f-F\sin \theta =0$$

$$\sum F_y=F\cos \theta -W+N=0$$

$$\sum {\tau }_{pivot}=F\ell -W\frac{\ell }{2}\cos \theta =0$$ 여기서 미끄러짐이 없기 위해서는 $f<\mu N$을 만족해야 하므로

$$\mu >\frac{f}{N}=\frac{F\sin \theta }{W-F\cos \theta }=\frac{\sin \theta \cos \theta }{2-{\cos }^2\theta }$$

우변의 최대값이 $\frac{1}{2\sqrt{2}}$이므로 바닥과의 정지마찰계수는 이보다 커야 한다.