Least Squares Estimation of Perspective Transformation

두 영상 사이의 perspective 변환은 8개의 매개변수 $(a,b,c,d,e,f,g,h)$에 의해서 다음 식처럼 기술이 된다. (see, http://kipl.tistory.com/86)

또는, 

따라서, 매개변수를 찾기 위해서는 두 영상에서 서로 대응하는 점이 4개 이상 주어져야 한다. N개의 대응점들이 주어진 경우

 

각각의 대응점을 위의 식에 대입해서 정리하면 아래의 행렬식을 얻을 수 있다.(좌변 행렬의 마지막 열은 전부 - 부호가 들어가야 한다) 
 

 

또는, 간단히 

$$\mathbf{A}\cdot \mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{b}$$

로 쓸 수 있다. 그러나 대응점을 찾을 때 들어오는 noise로 인해서 실제 데이터를 이용하는 경우에는 정확히 등호로 주어지지 않는다. 따라서, 실제 문제에서는 좌변과 우변의 차이의 제곱을 최소로 만드는 $\mathbf{x}$를 찾아야 할 것이다.

$${\mathbf{x}}^{\ast }=\underset{\mathbf{x}}{\text{argmin }}|\mathbf{A}\cdot \mathbf{x}-\mathbf{b}{|}^2.$$

최소자승해를 찾기 위해 ${\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}$에 대해 미분을 하면

$$\mathbf{(}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\cdot \mathbf{A}\mathbf{)}\cdot \mathbf{x}\mathbf{=}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\cdot \mathbf{b}\mathbf{,}$$

를 얻고, 이 식을 풀어서 ${\mathbf{x}}^{\ast }$을 구하면 된다. ${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\cdot \mathbf{A}$는 $8\times 8$의 대칭 행렬로 역행렬을 구할 수 있다 (주어진 점들 중 한 직선 위에 놓이지 않는 점이 4개 이상이 있어야 한다). 따라서 최소자승해는 다음과 같이 쓸 수 있다:

$${\mathbf{x}}^{\mathbf{\ast }}\mathbf{=}\mathbf{(}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\cdot \mathbf{A}{\mathbf{)}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\cdot \mathbf{(}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\cdot \mathbf{b}\mathbf{)}\mathbf{.}$$