Geometry & Recognition

보통 베르누이 방정식은 에너지 보존을 써서 유도한다. 에너지 보존식이 뉴턴의 운동방정식에서 나온 결과이므로 베르누이 방정식 또한 운동방정식에서 직접 유도할 수 있다(steady, incompressible, frictionless flow). 유체 입자가 움직이는 경로인 유선 상의 한 지점을 고려하자. 이 지점에서 가속도 벡터는 유선의 접선 방향과 그 지점에서 곡률 중심을 가리키는 법선 방향 성분으로 분해가 가능하다. 유선은 유선의 길이 ($s$)를 매개변수로 써서 표현할 수 있으므로 이를 이용하면 가속도의 접선 성분은 

$$ a_t = \frac{d  |\vec{v}|}{dt}= \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt} = \frac{dv}{ds}{v} = \frac{1}{2} \frac{dv^2}{ds}$$ 

가속도의 법선 성분은 구심가속도이므로 그 지점에서 곡률 반지름이 $R$이면

$$ a_n = \frac{v^2}{R}$$

유선상의 한 지점을 중심으로 하는 부피가 $dV = ds dA$인 미소 박스를 생각하자.

이 미소 박스에 작용하는 접선 방향의 알짜힘은 박스 좌우에서 작용하는 압력의 차이가 만드는 힘과 중력의 접선성분의 합으로 주어진다:

$$\sum F_t  = - P(s+ds/2) dA + P(s-ds/2) dA - \rho g \sin \theta dV = -\Big( \frac{dP}{ds} + \rho g \sin \theta \Big) dV$$

미소 부피 속의 유체 질량이 $dm = \rho dV$이므로 접선 방향의 운동방정식은

$$ -\frac{dP}{ds} -\rho g \sin \theta = \frac{1}{2} \rho \frac{dv^2}{ds} $$

그런데 유체는 비압축성이고, $\sin \theta = dz/ds$이므로 다음과 같이 베르누이 방정식을 얻을 수 있다:

\begin{gather}\frac{d}{ds}\Big( P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z \Big) = 0 \\ \text{or}\quad P +\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{const} \end{gather}

법선 방향의 운동방정식도 같은 방법으로 유도할 수 있는데, 법선 방향의 압력 변화를 $dP/dn$이라면

$$\frac{dP}{dn} + \rho \frac{v^2}{R} + \rho g \frac{dz}{dn}=0$$

이 방정식을 사용하기 위해서는 유선의 각 위치에서의 곡률 반지름에 대한 정보가 주어야 한다.

동일한 두 막대 중 A는 벽에 기대어 세우고, B는 바닥에 그대로 세웠다. 아래를 살짝 오른쪽으로 당기면 두 막대는 미끄러지면서 결국 바닥에 닿게 된다. 먼저 바닥에 도달하는 쪽은? 벽과 바닥에서 마찰은 무시할 수 있다.

1. A
2. B
3. 동시에
4. 정보가 부족하다.

힌트: 에너지 관계를 이용하면 쉽게 예측할 수 있다. A는 끝까지 벽에 붙어 있지는 못한다.

일정한 속도의 유체가 흐르는 파이프 벽에 구멍을 만들어 그림처럼 작은 유리관을 설치했다. 유리관에 생기는 유체기둥이 더 높은 것은?

1. A
2. B
3. 같다

위에서 일정하게 물이 공급되는 물탱크의 옆면에 구멍이 생겨서 수면의 높이가 일정하게 유지된다. 이 탱크를 저울 위에 올렸을 때 저울의 눈금은? 단, 빈 물탱크의 무게는 $W$, 수조에 담긴 물의 무게는 $W$이다.

1. $T+W$
2. $T+W$보다 크다.
3. $T+W$보다 작다.

전위가 \(V\)인 대전된 도체구(반지름\(=r\))를 도체구각(반지름\(=R\)) 속에 넣었다. 이후 도선을 이용해서 둘을 잠시 연결한 후 다시 제거하였다. 도체구각의 전위는?

1. \( V \)
2. \( \frac{r}{R} V \)
3. \( \frac{R}{r} V \)
4. \( \frac{R}{r+R}V \)
5. \( \frac{r}{r+R}V \)