Geometry &amp; Recognition

막대로 연결된 물체와 탄성충돌 후 속도는?

Physics/역학 2025. 3. 9. 20:05

가벼운 막대로 연결된 두 물체 B, C에 그림과 같이 물체 A가 $v 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub></math>$ 로 다가와 정면으로 탄성충돌을 한다. 충돌 후 각 물체의 속력은? 단, 세 물체의 질량은 모두 같다.

힌트: 정면충돌을 하므로 충돌 후 A의 속도성분 $v 1 (E E) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>v</mi><mn>1</mn></msub><mtext> </mtext><mo stretchy="false">(</mo><mi>E</mi><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 는 충돌 전과 나란한 방향이고, B의 속도는 막대방향 성분 $v 2 (S E) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub><mtext> </mtext><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 와 막대에 수직인 성분 $v 3 (N E) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>v</mi><mn>3</mn></msub><mtext> </mtext><mo stretchy="false">(</mo><mi>N</mi><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 로 분해하자. 충돌 직후에서 막대의 장력에 의해서 C는 $v 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub></math>$ 의 막대방향 속도성분을 가진다. A와 B의 충돌이 탄성적이므로 충돌 전후의 상대속도의 크기가 같아야 한다.

$v0−0=v2+v3√2−v1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><mn>0</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>v</mi><mn>3</mn></msub></mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mfrac><mo>−</mo><msub><mi>v</mi><mn>1</mn></msub></math>$

외력이 없으므로 y축 방향 운동량이 보존되고,

$0=−mv2√2+m(−v2√2+v3√2) → v3=2v2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mn>0</mn><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mrow><mi>m</mi><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub></mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mfrac><mo>+</mo><mi>m</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mo>−</mo><mfrac><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msub><mi>v</mi><mn>3</mn></msub><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mfrac><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mo accent="false" stretchy="false">→</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msub><mi>v</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub></math>$

또한 x축 방향의 운동량도 보존되므로

$mv0=mv1+m(v2√2+v3√2)+mv2√2 → v0=v1+4√2v2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>m</mi><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mi>m</mi><msub><mi>v</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><mi>m</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mfrac><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msub><mi>v</mi><mn>3</mn></msub><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mfrac><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>+</mo><mi>m</mi><mfrac><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mfrac><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mo accent="false" stretchy="false">→</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>v</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><mfrac><mn>4</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mfrac><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub></math>$

따라서 미지수 $v 1, v 2, v 3 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>v</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mtext> </mtext><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub><mo>,</mo><mtext> </mtext><msub><mi>v</mi><mn>3</mn></msub></math>$ 에 식 3개가 주어졌으므로 풀면

$v1=−v07, v2=2√27v0, v3=4√27v0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>v</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub><mn>7</mn></mfrac><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>7</mn></mfrac><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msub><mi>v</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>7</mn></mfrac><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub></math>$

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