Geometry & Recognition

원형 실린더의 중심축에 실로 연결된 물체(A)와 실린더를 감은 줄에 연결된 물체(B) 중 더 빨리 내려가는 것은? (바닥이 충분히 거칠어서 실린더는 미끄러지지 않고 구른다)

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A: 실린더의 반지름을 $R$, 질량을 $M$, 중심축에 대한 회전관성을 $I$라면;

 

구르는 운동은 접촉점에 대한 순간적인 회전운동을 표현할 수 있다는 사실을 이용하면(접촉점에 대한 회전관성: $I_p = I+ MR^2$)

 

B: 이 경우 실린더 중심의 가속도는 물체가 내려가는 가속도의 절반이다(이전 포스팅 참조). 실린더 중심의 가속도를 $a_3$, 물체의 가속도를 $a_2$ 라면

 

빠르게 달리다가 돌부리에 걸리면 넘어진다. 그러나 속력이 작으면 잘 넘어지지 않는다. 턱에 걸려 넘어지기 위해서는 얼마나 빨리 달려야 하는가를 살펴보기 위해서 간단한 물리적인 상황을 만들자. 정육면체 모양의 물체가 매끄러운 바닥을 일정한 속도로 달리다가 작은 턱에 걸릴 때 넘어질 조건을 보면

1. 탄성충돌 여부를 확인할 수 없으므로 충돌 전후의 운동에너지 보존을 보장할 수 없다.
2. 턱이 외력을 주므로 물체의 운동량도 보존이 안된다.
3. 물체가 넘어질 때 턱을 기준으로 회전을 하므로 이 지점을 회전축으로 할 때 턱이 육면체에 주는 힘은 토크를 만들지 않는다.

따라서 충돌 직전-직후의 턱을 회전축으로 하는 각운동량은 보존이 된다.(수직 항력이나 중력도 작용하는데 이 두 힘은 impulsive 한 힘이 아니다. 충돌이 순간적으로 일어난다면, 유한한 크기의 힘이 만드는 충격량은 (충돌 시간->0 이므로) 힘 x충돌 시간->0 이므로 (각)운동량의 변화에 기여하지 않는다.) 물론, 넘어지는 과정에서는 각운동량은 바꾸지만 이 문제에서 필요한 것은 충돌 직후의 각운동량으로 이 값은 충돌 직전과 같고 이를 이용해서 충돌 직후의 운동에너지$(K_f = {L_f^2}/{2I})$를 계산할 수 있다)

$$ \text{충돌 직전 각운동량} (L_i = Mva) =\text {충돌 직후 각운동량} (L_f) = L \quad (w.r.t.\text {턱})$$

충돌 직후에는 턱을 회전축으로 회전을 한다. 턱(정육면체 한 변)에 대한 회전관성은 

$$I=\frac{8Ma^2 }{3} \quad \text{정육면체 변에 대한 회전관성}$$

넘어가는 과정에서는 중력만 일을 하므로 정육면체의 역학적 에너지는 보존이 된다. 따라서 충돌 직후 운동에너지(턱에 대한 회전에너지=$K$)가 무게중심이 가장 높이 올라갔을 때 위치에너지의 증가$(\Delta U = Mga (\sqrt{2}-1))$보다 더 크면 턱을 기준으로 완전하게 회전할 수 있다.

$$K=\frac{L^2 }{2I }= \frac{3M v^2}{16 }\ge Mga (\sqrt{2}-1)=\Delta U,\\ \therefore v \ge 4\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{3}ga} = 1.486\sqrt{ga}.$$

물이 담긴 통에 같은 간격으로 뚫린 3개의 구멍에서 나오는 물줄기를 그린 것이다. 어디에 잘못이 있을까? 가운데 구멍은 물 높이의 중간 지점이고 물은 일정한 높이가 유지되도록 공급이 된다고 생각해도 된다.

통나무에 감긴 줄을 이용하면 훨씬 무거운 물체를 떨어지지 않게 지탱할 수 있다. 이는 줄과 통나무 사이에 작용하는 마찰력 때문이다. 감긴 줄이 팽팽하게 되었을 때 줄의 좌우의 장력에 차이가 생기는데 얼마나 생길까?

문제를 간단히 하기 위해 작은 각도($\Delta\theta$)만 걸치는 경우를 생각하면, 오른쪽이 더 센 장력($T+ΔT$)이 걸리면 마찰력($\mu N$)은 왼쪽 방향으로 작용한다. 좌우 장력의 차이 $ΔT$를 계산하기 위해 평형 조건을 고려하면

\begin{gather}\sum F_x = (T+\Delta T) \cos \frac{\Delta \theta}{2} - T\cos \frac{\Delta\theta}{2} -\mu N = 0 \\ \sum F_y = N - T \sin \frac{\Delta \theta}{2} - (T+\Delta T) \sin \frac{\Delta \theta}{2} = 0 \end{gather}

$\Delta \theta \ll 1$이므로 $\cos \frac{\Delta \theta}{2}\approx 1$, $\sin \frac{\Delta \theta}{2} \approx \frac{\Delta \theta}{2}$을 쓰면

\begin{gather} \Delta T = \mu N~\text{and}~ N = T \Delta \theta \\ \longrightarrow ~ \frac{\Delta T}{\Delta \theta} = \mu T ~ \longrightarrow~ \frac{dT}{d\theta} = \mu T\end{gather}

$$  \therefore~ T(\theta) = T_0 e^{\mu \theta}~ \text{or} ~ T_0 = T (\theta) e^{-\mu \theta}$$

마찰력 때문에 장력은 감긴 각도의 크기에 지수함수적으로 비례해서 커진다. ($\theta$는 장력이 큰 쪽으로 증가한다) 위 그림에서 $T(\theta) = Mg$, $n+1/2 (\text{or}~ \theta = (n+1/2) 2\pi)$회 감기므로

$$T_0 = e^{-2\pi \mu (n + 1/2)} Mg ~~(n=0,1,2,...)$$

따라서, 줄을 한 두 바퀴 정도만 감아도 무거운 물체를 충분히 지탱할 만큼의 장력이 발생하므로 작은 힘($T_0$)으로도 무거운 물체($Mg$)를 지탱할 수 있다.

용수철에 3kg의 물체를 매달았더니 원래 길이보다 3m 늘어났다. 이 용수철과 물체를 3 등분하여 오른쪽 그림처럼 매단다. 전체 늘어난 길이는 분할하기 전보다 길어지는가, 같은가 아니면 줄어드는가?