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I=11(1x)α(1+x)1+αdx5+x2=π30sin[πα+(12α)tan1(5)]sin(πα)(0<α<1)

f(z)=(1z)α(1+z)1+α5+z2 위상은 0arg(1z)2π,πarg(1+z)π로 선택할 수 있다. 그리고 z±=±i5f(z)의 simple pole이다.

C1에서 z1=(1x)eiπ1z=(1x)ei2π, 1+z=(1+x)i0, (x:11)이므로

C1f(z)dz=11(1x)αei2πα(1+x)1+αdx5+x2=ei2παI

C2에서는 z1=(1x)eiπ1z=(1x)i0, 1+z=(1+x)i0, (x:11)이어서

C2f(z)dz=11(1x)α(1+x)1+αdx5+x2=I

따라서 

C1+C2f(z)dz=(ei2πα+1)I=2isin(πα)eiπαI 그리고 C에서는 적분은 0에 수렴한다. z+=i5에서 residue을 구하기 위해서 tanφ=5로 놓으면

arg(z+1)=πφ  arg(1z+)=2πφ arg(1+z+)=φ  αarg(1z+)(1α)arg(1+z+)=[2πα+(12α)φ]

이므로 Resf(i5)=(6)1ei[2πα+(12α)φ]i25=1i230ei[2πα+(12α)φ]

z=i5에서 residue는 

arg(z1)=π+φ  arg(1z)=φ arg(1+z)=φ  αarg(1z)(1α)arg(1+z)=(12α)φ이어서 Resf(i5)=(6)1ei(12α)φi25=1i230ei(12α)φ

두 residue의 합은

Resf(zi)=i230eiπα(ei[πα+(12α)]φei[πα+(12α)φ])=130eiπαsin[πα+(12α)φ]

따라서 residue 정리에 의해서 

2ieiπαsin(πα)I=2πi×(130eiπαsin[πα+(12α)φ])  I=π30sin[πα+(12α)tan1(5)]sin(πα)

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