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양자역학적 산란 과정을 알아보자. 실험적으로 산란은 입자를 target 입자에 보낸 후 거기서 나오는 입자의 방향 분포와 에너지 등을 조사하여 입사 입자와 목표 입자 사이의 상호작용의 특성을 알아보기 위해 수행한다. 양자역학적으로 산란 현상을 알기 위해서는 주어진 상호작용을 기술하는 포텐셜 에너지 V(r) 하에서 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것이다. 

22m2ψ(r)+V(r)ψ(r)=Eψ(r)

통상 입사 입자는 평면파 형태(eikr)로 보내고 상호작용이 일어나는 곳에서 충분히 먼 지점에서 산란입자를 검출하므로 산란이 일어난 후 입자의 파동은 원래의 입사파에 구형파를 더한 것으로 근사할 수 있다. 따라서 위의 슈뢰딩거 방정식의 해는 r에서 다음과 같은 형태를 가지도록, 즉 경계조건이 주어진다:

ψ(r)eikr+eikrrf(k,θ,φ)

여기서 f(k,θ,φ) 산란 진폭(scattering amplitude)으로 미분 산란 단면적은 이 값의 제곱에 해당된다.  또, 상호작용이 쿨롱의 힘처럼 중심력 형태로 주어지는 경우만 취급할 것이므로 산란 진폭은 입사파의 입사 방향(k) 축에 대한 회전 대칭성을 가지게 되어 kθ에만 의존한다.

 

슈뢰딩거 방정식을 다음 방정식에 의해서 정의되는 Green 함수 G(r,r)

(2+k2)G(r,r)=δ(rr),k2=2mE/2

를 이용해서 풀도록 하자. 먼저 G(r,r)=G(rr)임을 알 수 있다. Green 함수를 쓰면 슈뢰딩거 방정식의 해는 (homogenous soln은 B/C을 고려한 것임)

ψ(r)=eikr+λd3rG(r,r)U(r)ψ(r)로 쓰인다. 여기서 U=2mV2이고, λ는 perturbation의 차수를 세기 위해서 추가한 파라미터로 최종적으로는 1 또는 포텐셜의 세기로 설정된다. Green와 델타 함수의 Fourier 전개

G(R)=1(2π)3d3qeiqR˜G(q),R=rr

δ(R)=1(2π)3d3qeiqR

를 방정식에 대입하면 Green 함수의 Fourier 변환 ˜G(q)

˜G(q)=1q2k2

임을 알 수 있다. 따라서

G(R)=14π21iR0dqqeiqReiqRq2k2=18π21iRdqqeiqReiqRq2k2

위 적분은 q=±k에서 pole이 존재하여 발산하므로 적당한 regularization을 사용해 이를 피해야 한다. 이를 위해 복소평면으로 확장한 후 pole의 위치를 물리적인 상황에 맞도록 이동하도록 하자. 우리의 관심은 이 Green 함수를 사용해서 밖으로 나가는 구면파로 주어지는 산란된 파동을 얻고 싶으므로 pole의 위치를 ±(k+iϵ)으로 이동하자. 그러면 eiqR 항의 적분은 k+iϵ 을 포함하는 upper half plane의 경로를 선택하고, eiqR 항의 적분은 pole (k+iϵ)을 포함하는 lower half plane에서 경로를 잡으면 된다. 이 regularization을 사용하면

G(R)=14πeikRR=14πeik|rr||rr|

임을 알 수 있다. 

따라서 슈뢰딩거 방정식의 formal 해는 

ψ(r)=eikrλ4πd3reik|rr||rr|U(r)ψ(r) 우변 항에 우리가 구하려는 ψ(r)이 포함되어 있는 적분 방정식 형태이지만, perturbation을 이용해서 해를 구하기 좋은 형태로 만들어졌다. 이 적분 방정식은 반복적인 근사를 사용해서 해를 구할 수 있다. 상호작용이 없는 경우 해는 입사파  eirr 자신이고, 상호작용을 고려한 첫 번째 보정해는 우변의 ψ(r)에 입사파를 넣어서 얻은 해일 것이고, 그 다음 찻수의 보정까지 고려한 해는 1차 보정해를 ψ(r)에 넣어서 만들수 있다. 이런 식으로 낮은 보정해를 우변의 ψ(r)에 넣어서 순차적으로 높은 보정해를 얻을 수 있다. 이때 보정의 찻수는 λ의 찾수로 헤아릴 수 있다 (Born approximation). 

ψ(r)=eikrλ4πd3reik|rr||rr|U(r)eikr+(λ4π)2d3rd3r

산란 파동을 관측하는 곳은 상호작용이 일어나는 곳에서 매우 떨어진 위치이므로(|\vec {r}| \gg |\vec{r}'|) 분모의 1/|\vec{r}-\vec{r}'| \simeq 1/r로 근사할 수 있고, 지수 함수의 인자 k |\vec{r}-\vec{r}|

\begin{align} k |\vec{r}-\vec{r}'| &= k r \left[  1 + \left( \frac{r'}{r} \right)^2  - 2\frac{\vec{r}\cdot \vec{r}'}{r^2}\right]^{1/2} \\  &\simeq  kr - k\hat{r} \cdot \vec{r}' \end{align}

로 근사할 수 있다. 여기서 k\hat{r}=\vec{k}'은 측정하는 방향으로 날아오는 구형 산란파의 파수 벡터이다. 다시 해를 정리하면

\psi(\vec{r}) = e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} + \frac{e^{ikr}  }{r} \left[  -\frac{\lambda }{4\pi } \int d^3r' e^{-i\vec{k}'\cdot \vec{r}'}   U(r') e^{i \vec{k}\cdot \vec{r}'}  + O(\lambda^2) \right]

로 표현되므로 [\cdots] 내부가 산란 진폭 f(k, \theta)에 해당함을 알 수 있다. 여기서는 첫번째 보정해만 관심이 있으므로 산란 진폭은

\begin{align} f_B(k, \theta) &= -\frac{\lambda}{4\pi}\int d^3 r' e^{-i \vec{k}' \cdot \vec{r}'} U(r') e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}'}     \\      &= -\frac{\lambda}{4\pi} \int d^3 r'  e^{-i\vec{Q}\cdot\vec{r}'} U(r')  \end{align} 로 표현된다. 여기서 \vec{Q} = \vec{k}' - \vec{k}로 입사파에서 산란파로의 운동량 전달이다. Born approximation에서 \theta 방향으로의 산란 진폭은 운동량 전달이 \vec{Q}일 potential 함수의 Fourier 변환으로 주어짐을 알 수 있다.

 

이제 구체적인 potential 형태로 먼저 Yukawa potential을 사용하자. 힘의 작용 범위가 \xi일 Yukawa potential은 

\lambda V(r) =  \lambda  \frac{e^{-r /\xi }  }{r}

로 구대칭을 가진다. \lambda는 포텐셜의 세기까지 포한된 파라미터라고 생각하면 된다. Yukawa 포텐셜의 형태로 상호작용을 하는 경우 산란 진폭은 

\begin{align} f_B (k, \theta) &=    -\frac{m \lambda}{2\pi \hbar^2}  \int d^3 r e^{- i\vec{Q}\cdot \vec{r} } V(r)  \\ &= -\frac{m\lambda}{ \hbar ^2 Q } \int_0^\infty dr r e^{-r/\xi}  \sin(Qr)  \\  &= -\frac{2m\lambda}{\hbar^2 } \frac{1}{Q^2+1/\xi^2} \end{align}

 

두 번째 예는 쿨롱 포텐셜로 Yukawa potential에서 힘의 도달거리가 \xi \rightarrow \infty 일 때에 해당한다. 이 경우 산란 진폭은 (E= \hbar^2 k^2/2m, Q^2= k^2 + k'^2 - 2kk' \cos \theta=4k^2 \sin ^2(\theta/2))

\begin{align} f_B(k, \theta) =   -\frac{2m\lambda}{\hbar^2}\frac{1}{Q^2}= -\frac{m \lambda}{2\hbar^2 k^2 }  \frac{1}{\sin^2(\theta/2)} = -\frac{\lambda}{4E\sin^2(\theta/2)}\end{align}이고 미분 산란 단면적은 

\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f_B(k, \theta)|^2 = \frac{\lambda^2}{16 E^2 \sin^4(\theta/2)}

이 결과는 고전이론을 써서 구한 결과와 동일하다. 쿨롱 포텐셜의 경우 총 산란 단면적은 발산한다. 이는 쿨롱힘이 모든 거리에서 작용하기 때문에 예측할 수 있는 결과이다.

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