양자역학적 산란 과정을 알아보자. 실험적으로 산란은 입자를 target 입자에 보낸 후 거기서 나오는 입자의 방향 분포와 에너지 등을 조사하여 입사 입자와 목표 입자 사이의 상호작용의 특성을 알아보기 위해 수행한다. 양자역학적으로 산란 현상을 알기 위해서는 주어진 상호작용을 기술하는 포텐셜 에너지 V(→r) 하에서 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것이다.
−ℏ22m∇2ψ(→r)+V(→r)ψ(→r)=Eψ(→r)
통상 입사 입자는 평면파 형태(ei→k⋅→r)로 보내고 상호작용이 일어나는 곳에서 충분히 먼 지점에서 산란입자를 검출하므로 산란이 일어난 후 입자의 파동은 원래의 입사파에 구형파를 더한 것으로 근사할 수 있다. 따라서 위의 슈뢰딩거 방정식의 해는 r→∞에서 다음과 같은 형태를 가지도록, 즉 경계조건이 주어진다:
ψ(→r)⟶ei→k⋅→r+eikrrf(→k,θ,φ)
여기서 f(→k,θ,φ) 산란 진폭(scattering amplitude)으로 미분 산란 단면적은 이 값의 제곱에 해당된다. 또, 상호작용이 쿨롱의 힘처럼 중심력 형태로 주어지는 경우만 취급할 것이므로 산란 진폭은 입사파의 입사 방향(→k) 축에 대한 회전 대칭성을 가지게 되어 k와 θ에만 의존한다.
슈뢰딩거 방정식을 다음 방정식에 의해서 정의되는 Green 함수 G(→r,→r′),
(∇2+k2)G(→r,→r′)=δ(→r−→r′),k2=2mE/ℏ2
를 이용해서 풀도록 하자. 먼저 G(→r,→r′)=G(→r−→r)임을 알 수 있다. Green 함수를 쓰면 슈뢰딩거 방정식의 해는 (homogenous soln은 B/C을 고려한 것임)
ψ(→r)=ei→k⋅→r+λ∫d3r′G(→r,→r′)U(r′)ψ(→r′)로 쓰인다. 여기서 U=2mVℏ2이고, λ는 perturbation의 차수를 세기 위해서 추가한 파라미터로 최종적으로는 1 또는 포텐셜의 세기로 설정된다. Green와 델타 함수의 Fourier 전개
G(→R)=1(2π)3∫d3qei→q⋅→R˜G(→q),→R=→r−→r′
δ(→R)=1(2π)3∫d3qei→q⋅→R
를 방정식에 대입하면 Green 함수의 Fourier 변환 ˜G(→q)는
˜G(→q)=−1q2−k2
임을 알 수 있다. 따라서
G(R)=−14π21iR∫∞0dqqeiqR−e−iqRq2−k2=−18π21iR∫∞−∞dqqeiqR−e−iqRq2−k2
위 적분은 q=±k에서 pole이 존재하여 발산하므로 적당한 regularization을 사용해 이를 피해야 한다. 이를 위해 복소평면으로 확장한 후 pole의 위치를 물리적인 상황에 맞도록 이동하도록 하자. 우리의 관심은 이 Green 함수를 사용해서 밖으로 나가는 구면파로 주어지는 산란된 파동을 얻고 싶으므로 pole의 위치를 ±(k+iϵ)으로 이동하자. 그러면 eiqR 항의 적분은 k+iϵ 을 포함하는 upper half plane의 경로를 선택하고, e−iqR 항의 적분은 pole −(k+iϵ)을 포함하는 lower half plane에서 경로를 잡으면 된다. 이 regularization을 사용하면
G(R)=−14πeikRR=−14πeik|→r−→r||→r−→r′|
임을 알 수 있다.

따라서 슈뢰딩거 방정식의 formal 해는
ψ(→r)=ei→k⋅→r−λ4π∫d3r′eik|→r−→r′||→r−→r′|U(r′)ψ(→r′) 우변 항에 우리가 구하려는 ψ(→r)이 포함되어 있는 적분 방정식 형태이지만, perturbation을 이용해서 해를 구하기 좋은 형태로 만들어졌다. 이 적분 방정식은 반복적인 근사를 사용해서 해를 구할 수 있다. 상호작용이 없는 경우 해는 입사파 ei→r⋅→r 자신이고, 상호작용을 고려한 첫 번째 보정해는 우변의 ψ(→r′)에 입사파를 넣어서 얻은 해일 것이고, 그 다음 찻수의 보정까지 고려한 해는 1차 보정해를 ψ(→r′)에 넣어서 만들수 있다. 이런 식으로 낮은 보정해를 우변의 ψ(→r′)에 넣어서 순차적으로 높은 보정해를 얻을 수 있다. 이때 보정의 찻수는 λ의 찾수로 헤아릴 수 있다 (Born approximation).
ψ(→r)=ei→k⋅→r−λ4π∫d3r′eik|→r−→r′||→r−→r′|U(r′)ei→k⋅→r′+(−λ4π)2∫d3r′∫d3r″

산란 파동을 관측하는 곳은 상호작용이 일어나는 곳에서 매우 떨어진 위치이므로(|\vec {r}| \gg |\vec{r}'|) 분모의 1/|\vec{r}-\vec{r}'| \simeq 1/r로 근사할 수 있고, 지수 함수의 인자 k |\vec{r}-\vec{r}|은
\begin{align} k |\vec{r}-\vec{r}'| &= k r \left[ 1 + \left( \frac{r'}{r} \right)^2 - 2\frac{\vec{r}\cdot \vec{r}'}{r^2}\right]^{1/2} \\ &\simeq kr - k\hat{r} \cdot \vec{r}' \end{align}
로 근사할 수 있다. 여기서 k\hat{r}=\vec{k}'은 측정하는 방향으로 날아오는 구형 산란파의 파수 벡터이다. 다시 해를 정리하면
\psi(\vec{r}) = e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} + \frac{e^{ikr} }{r} \left[ -\frac{\lambda }{4\pi } \int d^3r' e^{-i\vec{k}'\cdot \vec{r}'} U(r') e^{i \vec{k}\cdot \vec{r}'} + O(\lambda^2) \right]
로 표현되므로 [\cdots] 내부가 산란 진폭 f(k, \theta)에 해당함을 알 수 있다. 여기서는 첫번째 보정해만 관심이 있으므로 산란 진폭은
\begin{align} f_B(k, \theta) &= -\frac{\lambda}{4\pi}\int d^3 r' e^{-i \vec{k}' \cdot \vec{r}'} U(r') e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}'} \\ &= -\frac{\lambda}{4\pi} \int d^3 r' e^{-i\vec{Q}\cdot\vec{r}'} U(r') \end{align} 로 표현된다. 여기서 \vec{Q} = \vec{k}' - \vec{k}로 입사파에서 산란파로의 운동량 전달이다. Born approximation에서 \theta 방향으로의 산란 진폭은 운동량 전달이 \vec{Q}일 potential 함수의 Fourier 변환으로 주어짐을 알 수 있다.
이제 구체적인 potential 형태로 먼저 Yukawa potential을 사용하자. 힘의 작용 범위가 \xi일 Yukawa potential은
\lambda V(r) = \lambda \frac{e^{-r /\xi } }{r}
로 구대칭을 가진다. \lambda는 포텐셜의 세기까지 포한된 파라미터라고 생각하면 된다. Yukawa 포텐셜의 형태로 상호작용을 하는 경우 산란 진폭은
\begin{align} f_B (k, \theta) &= -\frac{m \lambda}{2\pi \hbar^2} \int d^3 r e^{- i\vec{Q}\cdot \vec{r} } V(r) \\ &= -\frac{m\lambda}{ \hbar ^2 Q } \int_0^\infty dr r e^{-r/\xi} \sin(Qr) \\ &= -\frac{2m\lambda}{\hbar^2 } \frac{1}{Q^2+1/\xi^2} \end{align}
두 번째 예는 쿨롱 포텐셜로 Yukawa potential에서 힘의 도달거리가 \xi \rightarrow \infty 일 때에 해당한다. 이 경우 산란 진폭은 (E= \hbar^2 k^2/2m, Q^2= k^2 + k'^2 - 2kk' \cos \theta=4k^2 \sin ^2(\theta/2))
\begin{align} f_B(k, \theta) = -\frac{2m\lambda}{\hbar^2}\frac{1}{Q^2}= -\frac{m \lambda}{2\hbar^2 k^2 } \frac{1}{\sin^2(\theta/2)} = -\frac{\lambda}{4E\sin^2(\theta/2)}\end{align}이고 미분 산란 단면적은
\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f_B(k, \theta)|^2 = \frac{\lambda^2}{16 E^2 \sin^4(\theta/2)}
이 결과는 고전이론을 써서 구한 결과와 동일하다. 쿨롱 포텐셜의 경우 총 산란 단면적은 발산한다. 이는 쿨롱힘이 모든 거리에서 작용하기 때문에 예측할 수 있는 결과이다.
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