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용수철 진자의 주기비는?

Physics/역학 2025. 2. 23. 19:52

용수철 두 개( $k 1 \neq k 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>k</mi><mn>1</mn></msub><mo>\neq</mo><msub><mi>k</mi><mn>2</mn></msub></math>$ ) 를 이용해서 진자를 만들었다. 오른쪽은 두 용수철을 연결하는 줄이 질량을 무시할 수 있는 도르래로 연결되어 있고 마찰은 없다. 두 용수철 진자를 위-아래로 살짝 진동시켰을 때 주기를 비교하면?

$T A > T B <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>T</mi><mi>A</mi></msub><mo>></mo><msub><mi>T</mi><mi>B</mi></msub></math>$
$T A < T B <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>T</mi><mi>A</mi></msub><mo><</mo><msub><mi>T</mi><mi>B</mi></msub></math>$
$T A = T B <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>T</mi><mi>A</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>T</mi><mi>B</mi></msub></math>$

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얼마나 늘어날까?

Physics/역학 2020. 12. 24. 11:28

오른쪽 물체를 일정한 힘 $F <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi></math>$ 로 당기면 용수철은 얼마까지 늘어날 수 있을까? 단, 당기기 시작할 때 두 물체는 정지상태이고 용수철은 늘어나거나 압축되지 않았다.

1. $F / 4 k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>4</mn><mi>k</mi></math>$

2. $F / 2 k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn><mi>k</mi></math>$

3. $F / k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mi>k</mi></math>$

4. $2 F / k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mi>F</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mi>k</mi></math>$

5. 용수철이 끊어지기 전까지 늘어날 수 있다.

두 물체의 질량중심 좌표계에서 일-에너지 정리를 사용해도 되지만, 직접 운동 방정식을 푸는 방법을 사용하면

$m ¨ x 1 = - k (x 1 - x 2), m ¨ x 2 = - k (x 2 - x 1) + F . <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>m</mi><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>x</mi><mo>¨</mo></mover></mrow><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mi>m</mi><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>x</mi><mo>¨</mo></mover></mrow><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>F</mi><mo>.</mo></math>$

두 물체의 상대좌표 $x = x 2 - x 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>=</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></math>$ 에 대한 방정식은

$¨x=−2kmx+Fm.<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>x</mi><mo>¨</mo></mover></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>k</mi></mrow><mi>m</mi></mfrac><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>F</mi><mi>m</mi></mfrac><mo>.</mo></math>$

용수철의 자연 길이가 $ℓ 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>ℓ</mi><mn>0</mn></msub></math>$ 면 이 방정식의 해는 ( $x (0) = ℓ 0, ˙ x (0) = 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mi>ℓ</mi><mn>0</mn></msub><mo>,</mo><mtext> </mtext><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>x</mi><mo>˙</mo></mover></mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math>$ )

$x(t)=ℓ0+F2k(1−cos(√2kmt))<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mi>ℓ</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mfrac><mi>F</mi><mrow><mn>2</mn><mi>k</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><msqrt><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>k</mi></mrow><mi>m</mi></mfrac></msqrt><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></math>$

이므로 $max (| x - ℓ 0 |) = F / k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo data-mjx-texclass="OP" movablelimits="true">max</mo><mo stretchy="false">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mi>ℓ</mi><mn>0</mn></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>F</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mi>k</mi></math>$ .

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고정된 용수철에 물체를 매달아 약간 압축한 후 손을 뗐다. 이후 물체는 위-아래로 흔들리는 운동을 한다. 물체가 받는 (알짜) 힘의 크기는 어느 지점에서 최소가 되는가?

1. a

2. b

3. c

4. d

5. 이 중에는 없다.

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