삼각형의 외접원: 외접원의 반지름(radius of circumcircle of a triangle)

세 점 $A$, $B$, $C$가 만드는 삼각형의 외접원의 반지름을 구해보자. 세 변을 나타내는 벡터는

$$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC},\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.$$

세 점이 일직선 위에 놓이지 않기 위해서는 

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\ne 0$$

를 만족해야 한다. 

그림의 삼각형에서 $\mathrm{\angle }(BOC)$가 $\mathrm{\angle }(BAC)$의 두 배이므로,

$$\sin \theta =\frac{a/2}{R}.$$

이제 삼각형 면적은 세 변의 길이 ($a,b,c$)와 외접원의 반지름($R$)으로 표현된다:

$$\text{area}=\frac{1}{2}bc\sin \theta ⟶\frac{abc}{4R}.$$

또한, 삼각형의 면적을 세 점이 일직선 위에 있는가를 테스트하는 식으로 표현하면 

$$\text{area}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|$$

처럼 쓸 수 있다. 따라서 삼각형의 외접원의 반지름은 아래처럼 주어진다.

$$R=\frac{abc}{4\cdot \text{area}}=\frac{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|}{2|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|}.$$

double circumradius(CPoint A, CPoint B, CPoint C) {
    double ax = C.x - B.x, ay = C.y - B.y;
    double bx = A.x - C.x, by = A.y - C.y;
    double crossab = ax * by - ay * bx;
    if (crossab != 0) { 
        double a = hypot(ax, ay);
        double b = hypot(bx, by); 
        double cx = B.x - A.x, cy = B.y - A.y;       
        double c = hypot(cx, cy);
        return (0.5 * a * b * c / fabs(crossab));
    } else 
        return 0;   //collinear
};