삼각형의 외접원: 외접원의 중심(center of circumcircle of a triangle)

평면 위 세 점 $A$, $B$, $C$가 삼각형을 만들 때 외접원 중심을 구해보자. 점 $C$을 원점으로 하면, $A$, $B$는 각각

의 두 벡터로 표현이 된다 (원점을 $C$점으로 평행 이동했다고 생각하면 된다). 이 두 벡터에 각각 수직이고 삼각형과 같은 평면에 놓인 ($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$를 각각 시계 방향으로 회전시켜 만든) 두 벡터 $\overrightarrow{m}$, $\overrightarrow{n}$를 다음과 같이 정의하자.

그러면, 변 $CA$의 중점을 지나면서 수직인 직선의 방정식은

또, $CB$의 중점을 지나면서 수직인 직선의 방정식은 

이 두 직선의 교점이 외접원의 중심이 된다. 매개변수 $s$, $t$를 구하기 위해서 두 식을 빼면

 매개변수 $s$는 $\overrightarrow{b}$와 $\overrightarrow{n}$이 수직인 조건을 이용하면

따라서, 외접원의 중심은  

여기서, 3개 벡터의 외적의 성질을 이용해서 (평면에서 외적은 숫자이다)

가 항등식으로 성립하고, 또한 $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{m}$이 서로 수직이면서 길이가 같고, $\overrightarrow{m}$ 도 $\overrightarrow{b}$에 수직이면 길이가 같으므로

따라서, 

여기서, 윗 식의 분모를 보면

이므로, 이 값이 0이 아니려면 세 점이 일직선에 있지 않으면 된다.

그런데 이 벡터는 점 $C$를 원점으로 하여서 계산을 한 것이므로, 원래의 좌표계에 대한 식으로 바꾸려면 $(C_x,C_y)$를 더해 주어야 한다.

또는, 성분으로 표현하면

int circumcenter ( CPoint A, CPoint B, CPoint C, double *xc, double *yc) {
    double ax = A.x - C.x, ay = A.y - C.y ;
    double bx = B.x - C.x, by = B.y - C.y ;
    double asq = ax * ax + ay * ay;
    double bsq = bx * bx + by * by;
    double ccw = ax * by - ay * bx;
    if ( ccw != 0. ) { //세 점임 일직선 위에 있지 않는 경우; 이 경우만 외접원이 정의됨;
        *xc = C.x + ( by * asq - ay * bsq ) / ( 2 * ccw ) ;
        *yc = C.y + ( -bx * asq + ax * bsq ) / ( 2 * ccw ) ;
        return 1;
    } else return 0;
}