Center of Percussion

야구 배트로 공을 칠 때 공을 맞추는 지점을 잘 선택하면 배트를 잡는 위치(회전축)의 움직임이 거의 없게(즉, 손이 충격을 안 받게) 만들 수 있다. 이는 배트가 힘을 받았을 때 운동이 질량중심과 같은 속도로 움직이는 병진 운동과 질량중심에 대한 회전운동의 합으로 표현되는 점을 고려하면 쉽게 이해할 수 있다. 배트의 각 지점의 실제 속도는 질량중심의 속도와 회전운동에 의한 속도의 벡터 합이므로 손잡이 부분에서 0인 조건을 만족되면 가능하게 된다. 이 경우 배트의 운동은 손잡이 위치에 대한 순수 회전운동으로 표현할 수 있다. 그리고 공을 맞추는 지점을 center of percussion(COP)이라고 한다(손잡이 위치에 대한 상대적 위치임)

공이 배트에 준 힘을 $F$라면 (손이 준 힘이 없는 조건에서)

$$\text {cm-병진}:  ~F = M a,$$

$$\text {cm-회전}: ~Fb = I_{cm} \alpha. $$

손잡이 지점의 가속도가 없는 조건을 쓰면

$$ a_{손잡이}= a- \alpha p = 0\quad \rightarrow ~ \frac {F}{M} = \frac {Fb} {I_{cm}} p \quad \therefore b =  \frac {I_{cm}}{pM}.$$

$b$와 $p$는 정확히 대칭적 역할을 한다. 배트의 COP 지점을 손으로 잡고 원래 손잡이 위치에 공을 맞추어도 손에 충격이 오지 않는다.

배트의 회전관성을 직접 구하지 않고 COP을 알아낼 수 있는 방법은 없을까? 배트의 손잡이를 회전축으로 만들어 배트를 살짝 흔들면 주기가 일정한 진동 운동을 한다(물리진자, COP를 회전축으로 만들어도 같은 주기를 가진다). 그리고 주기는 다음과 같이 주어진다: 

$$ T ={2\pi} \sqrt{ \frac{I_{cm} + M p^2 }{ Mgp}} = 2\pi \sqrt{\frac{b+p}{g}} .$$  

이 표현은 길이가 $\ell=b+p$인 단순진자의 주기와 같다. 따라서 단순진자의 길이를 바꾸어 가면서 배트와 같은 주기를 같게 되는 경우를 찾으면  $b+p$ 값을 구할 수 있다. (추가로 배트의 질량중심은 균형을 이용하면 쉽게 찾을 수 있다.)

https://youtu.be/Dw3UpKQVhVY