연필이 넘어져서 바닥에 닿는데 걸리는 시간은?

책상에 세워둔 연필이 넘어져서 바닥에 닿는데 걸리는 시간은 어떻게 될까? 대략 경험적으로 보면 연필 길이가 길수록 넘어지는데 시간이 오래 걸린다. 왜 그럴까? 넘어지는데 걸리는 시간은 연필의 운동을 결정하는 물리량과 관련 있는데, 우선 크기와 관련 있는 길이$(L)$가 있고, 넘어지려면 토크를 작용해야 하는데 이는 중력(가속도: $g$)과 관련이 있다.(마찰/수직 항력은 회전축에 걸리므로 무관하다). 물론 질량에도 의존할 수 있는데, 중력 가속도, 길이, 질량의 물리량으로 시간의 단위를 만들 수 있는 조합은 $\text{const} \times\sqrt { L /g}$ 밖에 없다. 즉, 넘어지는데 걸리는 시간은 길이에 제곱근에 비례한다. 

구체적으로 얼마나 걸리는지 계산을 시도해 보자. 연필이 넘어지면 수직과 이루는 각 $\theta$가 증가한다: $0\rightarrow \pi/2$. 뉴턴 방정식을 이용하면 $\theta$가 만족해야 할 미분방정식을 얻을 수 있지만, 실질적으로 일하는 힘이 중력밖에 없으므로 역학적 에너지가 보존된다는 사실을 이용하는 것이 좀 더 수월하다. 연필을 균일한 막대로 근사하면 넘어지는 과정은 연필심에 대한 회전운동이다. 역학적 에너지 보존식을 쓰면

$$\frac {1}{2} I_{tip} \Big(\frac {d\theta}{dt}\Big)^2 + \frac {1}{2} MgL \cos \theta = \text {const} = \frac {1}{2} MgL.$$ 여기서 각속도를 구하면

$$ \\ \frac{d\theta}{dt} = \sqrt { \frac {3g}{L}  (1- \cos \theta ) } = \sqrt {\frac {6g}{L}} \sin \frac {\theta}{2},$$

이고, 적분하여 수직 상태에서 바닥에 도달하는데 걸리는 시간을 구하면,

$$T= \sqrt { \frac {L}{6g}} \int_0^{\pi/2} \frac {d \theta }{\sin \frac {\theta}{2} } \rightarrow \infty.$$

기대(?)와는 다르지만 이 결과는 구체적으로 계산하지 않더라도 예상할 수 있다. 왜냐면 완전히 똑바로 서 있으면 회전의 시작에 필요한 토크를 생성하는 힘이 없기 때문이다. 연필에는 중력이 작용하고 끝에 마찰력이나 수직 항력이 있긴 하지만 토크를 만들지는 못한다. 따라서 연필을 넘어뜨리기 위해서는 처음에 약간의 충격을 주던지(속도 제공) 아니면 약간 기울인 상태에서 시작해야 한다. 처음 $\theta_0$의 각도에서 시작하였다면 걸리는 시간은 위 적분식에서

$$ T = \sqrt{\frac {2L}{3g} }\log \frac { \tan \frac {\pi}{8}}{\tan \frac {\theta_0}{4} }.$$

$\theta_0\rightarrow 0$이면 시간은 $T\sim -\sqrt { \frac {2L}{3g}} \log \theta_0 \rightarrow \infty$이고, 유한할 때는 길이의 제곱근에 비례함도 확인할 수 있다.

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