공중에 머무른 시간은?

위로 $10\text{m/s}$로 쏘아 올린 공이 바닥에 떨어질 때 속력은 $8 \text{m/s}$ 였다. 공기저항이 속력에 비례한다고 할 때 공이 공중에 머무른 시간은?

1. $\frac{18}{9.8}\text{s}$

2. $\frac{18}{9.8}\text{s}$ 보다 길다.

3. $\frac{18}{9.8}\text{s}$ 보다 짧다.

4. 정보 부족

 

Hint: 운동 방정식의 해를 직접 구해서 확인할 수도 있지만, 운동 방정식을 잘 살펴보면 구체적인 계산 없이도 답을 얻을 수 있다.

 

운동방정식을 쓰면

$$ m\frac{dv_y}{dt} = -mg - kv = -mg - k \frac{dy}{dt}$$

양변을 시간에 대해 적분하면,

$$ m(v_y(t_f) - v_y (t_i)) = -mg (t_f - t_i) - k (y (t_f) - y(t_i))$$

이고, $y(t_f) = y(t_i)$이므로

$$ t_f - t_i = -\frac{v_y(t_f) - v_y(t_i)}{g}=- \frac{-8 - 10}{9.8}\text{s}$$