막대의 운동에너지는?

어느 순간 막대 양끝의 속도가 그림과 같다. 이 막대의 운동에너지는?

1. $\frac{9}{8}m{v}^2$

2. $\frac{7}{6}m{v}^2$

3. $\frac{5}{4}m{v}^2$

4. 이중에 답이 없다.

 

 

막대를 미소길이로 나누어서 각 부분의 운동에너지를 합하면 된다. 아래쪽을 수직 원점으로 잡으면 속도는 $v(y)=v+v\frac{y}{L}(0\le y\le L)$로 변한다. 따라서 

$$K={\int }_0^L\frac{1}{2}v(y{)}^{2}dm={\int }_0^L\frac{1}{2}{v}^2(1+y/L{)}^2\frac{m}{L}dy=\frac{7}{6}m{v}^2$$

또는 막대는 아래 끝에서 $L$ 떨어진 지점을 기준으로 순간적으로 회전을 한다. 그 지점에 대한 회전관성은 $I_{AOIR}=\frac{1}{12}m{L}^2+m(L+L/2{)}^2=\frac{7}{3}m{L}^2$이고, 각속도는 $\omega =v/L$이므로

$$K=\frac{1}{2}{I}_{AOIR}{\omega }^2=\frac{7}{6}m{v}^2$$