훌라후프가 튀지 않을 속력은?

훌라후프에 같은 질량의 물체가 테두리에 붙어있다. 훌라후프를 땅에 굴릴 때 너무 빠르면 물체가 위로 올라갈 때 바닥에서 떨어질 수 있다. 훌라후프가 튀지 않고 구르려면 물체가 바닥에 있을 때 중심이 움직이는 속력 $v_0$은 얼마가 되어야 하는가? 단, 훌라후프는 미끄러짐 없이 구른다.

1. $v_0 \le \sqrt{2gR}$

2. $v_0 \le \sqrt{4gR}$

3. $v_0 \le \sqrt{6gR}$

4. $v_0 \le \sqrt{8gR}$

 

 

바퀴가 구르면 중심에 대해서 회전운동을 하므로 물체가 가장 위에 올라갈 때 수직항력이 가장 작아지므로 바닥에서 떨어진다면 이 지점에 왔을 때이다. 이때 질량중심의 속도를 $v$라면 바퀴의 회전 각속도는 $\omega=v/R$이다. 바퀴의 중심과 같이 움직이는 관성계에서 보면 바퀴와 물체는 $\omega$의 각속도로 순간 회전을 한다.  바퀴+물체의 질량중심은 바퀴 중심에서 $R/2$만큼 위에 있고, 역시 $\omega$의 각속도로 시계방향으로 순간 회전을 한다. 계에 작용하는 외력이 바닥의 수직항력($\uparrow$)과 바퀴+물체의 중력($\downarrow$) + 마찰력($\rightarrow$)인데, 수직항력과 중력이 질량중심의 원운동을 기술하는 구심력이 된다.

\begin{gather} \sum F_{down} = 2mg - N = (2m)(R/2) \omega^2 \\  \rightarrow ~~ N= 2mg - mR\omega^2     \end{gather}

바퀴가 바닥에서 튀지 않으려면 $N\ge 0$이어야 한다. 그리고 역학적 에너지 보존에 의해서 (정지마찰력은 일을 하지 않음)

\begin{gather} \frac{1}{2}mv_0 +\frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2} m 0^2+ mgR = \frac{1}{2} mv^2  +\frac{1}{2}mv^2+ \frac{1}{2} m (2v)^2 + mgR  + 2mgR \\\rightarrow~~ 3v^2 = v_0^2 - 2gR \end{gather}

따라서 $N\ge 0$ 조건을 적용하면 훌라후프가 튀지 않을 처음 속력은

$$     v_0^2 \le 8gR$$