타원의 둘레길이

타원을 표현하는 방정식은 

$$  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$$

처럼 쓸 수 있다. 매개변수 $\theta$를 써서 표현하면

$$ x= a \cos \theta, \quad y=b \sin \theta, \quad 0\le \theta \le 2\pi$$

이므로 둘레길이는

$$L = \int _0^{2\pi} \sqrt{ \dot{x}^2 + \dot{y}^2 } d \theta  = \int_0^{2\pi} \sqrt{ a^2 \sin ^2  \theta + b^2 \cos ^2 \theta}d \theta$$

로 써진다.

$b\ge a$인 경우만 고려하여 적분인자를

$$ \sqrt{b^2 - (b^2 - a^2)\sin^2 \theta} d \theta = b \sqrt{1-e^2 \sin^2  \theta}d \theta$$

처럼 쓰자. 여기서 $e= \sqrt{b^2-a^2}/{b}$는 이심률(eccentricity)로 타원이 눌려진 정도를 나타낸다. 타원은 장축 반지름($b$)과 모양을 결정하는 이심률 ($e$)을 써서 표현할 수 있다. 대칭성에 의해서 둘레길이는 1 사분면에 걸친 길이의 4배를 하면 되므로

$$ L= 4 b   \int _0^{\pi/2} \sqrt{1-e^2 \sin ^2  \theta }d \theta $$

적분 부분은 장축 반지름이 1이고 이심률이 $e$ 타원 둘레길이의 $1/4$를 나타낸다. 그런데 이 적분은 닫힌 꼴을 구할 수 없고 무한수열의 합으로 표현해야 한다(참고: complete elliptic integral of the second kind). $x= e^2 \sin ^2 \theta$로 놓고 적분인자를 이항전개하면

\begin{align} (1-x)^{1/2} = \sum_{n=0}^\infty \left( \begin{matrix}1/2\\n\end{matrix}\right) (-x)^n &= 1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{16}x^3-\frac{5}{128}x^4-\frac{7}{256}x^5-\cdots \\ &= 1-\frac{1}{2}x -\sum_{n=2}^\infty \frac{(2n-3)!!}{2^n n!}x^n \end{align}

그리고

$$ \int_0^{\pi/2} \sin^{2n} \theta  d \theta = \frac{\pi}{2}\frac{1}{2^{2n}} \left(\begin{matrix}  2n \\ n \end{matrix}\right)$$

임을 이용하면 다음의 결과를 얻는다:

\begin{align} \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-e^2 \sin^2  \theta }  d \theta  &= \frac{\pi}{2} \left( 1- \frac{1}{2\cdot 2} e^2 -\sum_{n=2}^\infty \frac{(2n-1)!!(2n-3)!!}{ ((2n)!!)^2}  e^{2n}   \right)\\  &= \frac{\pi}{2}\left[1-  \Big(\frac{1}{2}\Big)^2 e^2 -\Big(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\Big)^2 \frac{e^4}{3} -\Big(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4 \cdot 6}\Big)^2 \frac{e^6}{5}-\cdots\right]    \end{align}

물론 이심률이 $e=0$인 원의 경우에는 $L=4b\times \frac{\pi}{2}=2\pi b$임을 확인할 수 있고, 이심률이 $e=1$인 경우(완전히 눌린 타원으로 끝이 연결된 두 선분)는  적분값이 1 이므로 둘레길이가 $L=4b$임도 확인할 수 있다.

참고:  $\sin \theta = (e^{i\theta}-e^{-i \theta})/2i$임과 이항정리를 쓰면

$$\sin^{2n} \theta = \frac{1}{(2i)^{2n}} \sum _{k=0}^{2n} \left( \begin{matrix}2n\\ k\end{matrix}\right)e^{-i 2(n-k) \theta }(-1)^k $$

이므로 적분을 하면

$$ \int_0^{\pi/2} \sin^{2n}\theta d\theta = \frac{(-1)^n}{2^{2n}} \left[ \sum _{k=0, k\ne n}^{2n} \left( \begin{matrix} 2n \\ k \end{matrix}\right)   \frac{(-1)^n - (-1)^k }{2i(n-k)} +\left(\begin{matrix}2n \\n\end{matrix}\right) \frac{\pi}{2}(-1)^n\right]$$

인데, $\left( \begin{matrix}2n\\ k\end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix}2n\\ 2n-k\end{matrix}\right)$임을 고려하면 $\sum$ 내부의 항들은 서로 상쇄되어 위의 결과를 얻는다.  

 

그렇지만 위의 무한수열은 이심률이 작은 경우를 제외하고는 수렴이 빠르게 이루어지지 않아 실질적인 계산에 쓰기에는 문제가 있다. 좀 더 빠르게 수렴하는 타원 둘레길이 표현을 찾아보자. 이심률을 쓰는 식은 장축과 단축에 대해서 비대칭적이다. 좀 더 대칭적인 표현을 구하기 위해서 다음과 같이 두축의 차이와 두축의 합의 비를 이용하자. 

$$a = \frac{a+b}{2} (1- \sqrt{h}), ~b = \frac{a+b}{2} (1 + \sqrt{h})$$

로 정의하면

$$ h = \Big( \frac{a-b }{ a+b } \Big)^2$$

임을 알 수 있고, $a,b$에 대해서 대칭적이다.  그리고,

\begin{align} a^2  \sin ^2 \theta + b^2 \cos ^2 \theta &= \frac{a^2+b^2}{2} - \frac{a^2 - b^2 }{2} \cos(2\theta) \\ &= \frac{(a+b)^2 }{4} (1 + h +2\sqrt{h} \cos 2   \theta) \\ &=\frac{(a+b)^2 }{4}   (1+z)(1+\bar{z}) \end{align}

여기서 $z= \sqrt{h} e^{i 2\theta}$, $\bar{z}= \sqrt{h}e^{ - i 2\theta}$로 정의했다. 이항정리를 이용해서 적분인자를 전개하면 

\begin{align} L &= 2(a+b) \int_0^{\pi/2} \sqrt{ (1+z)(1+\bar{z})} d \theta    \\ &= 2(a+b) \sum_{m=0}^\infty \sum _{n=0}^\infty \left(\begin{matrix}1/2 \\ m \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix}1/2\\n\end{matrix} \right)  h^{(m+n)/2} \int_0 ^{\pi/2}  e^{i 2\theta (m-n)}d \theta \end{align} 

을 얻는다. 그리고

$$ \int _0^{\pi/2} e^{i 2\theta (m-n)} d \theta = \frac{\pi}{2} \delta_{mn}$$

이므로 다음과 같은 타원 둘레길이에 대한 식을 얻을 수 있다.

\begin{align} L& = \pi (a+b) \sum_{n=0}^\infty  \left( \begin{matrix} 1/2 \\ n\end{matrix} \right)^2 h^n \\ &= \pi (a+b) \left[ 1 + \frac{1}{4}h+ \frac{1}{64}h^2 + \frac{1}{256} h^3 + \dots \right] , \qquad h = \left( \frac{a-b}{a+b}\right)^2 \end{align}

여기서 $\left(\begin{matrix}1/2\\n\end{matrix}\right) = (1/2)(1/2-1)\cdots(1/2-n+1)/n!$로

$$\left(  \begin{matrix} 1/2 \\n \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 2n\\n\end{matrix} \right) \frac{1}{(1-2n)(-4n)^n} $$

이다. 완전히 납작한 타원($h=1$ or $e=1$)인 경우 $L=4b$이므로 

$$ \sum_{n=0}^\infty  \left( \begin{matrix} 1/2 \\ n\end{matrix} \right)^2=\frac{4}{\pi}$$

임을 확인할 수 있다.