타원의 둘레길이(Perimeter of an Ellipse)

타원은 두 지점(초점)에서 거리의 합이 일정한 점들의 자취로 표준형의 타원 방정식은

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

처럼 쓸 수 있다. 이 곡선이 감싸는 면적은 단순하게 $\text{area}=\pi ab$로 주어지지만 둘레길이를 정확히 구하기 위해서는 적분이 필요하다. 타원방정식을 매개변수 $\theta$를 써서 표현하면

$$x=a\cos \theta ,y=b\sin \theta ,0\le \theta \le 2\pi$$

이므로 둘레길이는

$$L={\int }_0^{2\pi }\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}d\theta ={\int }_0^{2\pi }\sqrt{a^2{\sin }^2\theta +b^2{\cos }^2\theta }d\theta$$

로 써진다.

$b\ge a$인 경우만 고려하여 적분인자를

$$\sqrt{b^2-(b^2-a^2){\sin }^2\theta }d\theta =b\sqrt{1-e^2{\sin }^2\theta }d\theta$$

처럼 쓰자. 여기서 $e=\sqrt{b^2-a^2}/b$는 이심률(eccentricity)로 타원이 눌려진 정도를 나타낸다. 타원은 장축 반지름($b$)과 모양을 결정하는 이심률 ($e$)을 써서 표현할 수 있다. 대칭성에 의해서 둘레길이는 1 사분면에 걸친 길이의 4배를 하면 되므로

$$L=4b{\int }_0^{\pi /2}\sqrt{1-e^2{\sin }^2\theta }d\theta$$

적분 부분은 장축 반지름이 1이고 이심률이 $e$ 타원 둘레길이의 $1/4$를 나타낸다. 그런데 이 적분은 닫힌 꼴을 구할 수 없고 무한수열의 합으로 표현해야 한다(참고: complete elliptic integral of the second kind). $x=e^2{\sin }^2\theta$로 놓고 적분인자를 이항전개하면

$$\begin{array}{rl}(1-x{)}^{1/2}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}1/2\\ n\end{array}\right)(-x{)}^n\\ & =1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2-\frac{1}{16}{x}^3-\frac{5}{128}{x}^4-\frac{7}{256}{x}^5-\cdots \\ & =1-\frac{1}{2}x-\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-3)!!}{2^{n}n!}{x}^n\end{array}$$

그리고

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2n}\theta d\theta =\frac{\pi }{2}\frac{1}{2^{2n}}\left(\begin{array}{c}2n\\ n\end{array}\right)$$

임을 이용하면 다음의 결과를 얻는다:

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\pi /2}\sqrt{1-e^2{\sin }^2\theta }d\theta & =\frac{\pi }{2}(1-\frac{1}{2\cdot 2}{e}^2-\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1)!!(2n-3)!!}{((2n)!!{)}^2}{e}^{2n})\\ & =\frac{\pi }{2}[1-(\frac{1}{2}{)}^2{e}^2-(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}{)}^2\frac{e^4}{3}-(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}{)}^2\frac{e^6}{5}-\cdots ]\end{array}$$

물론 이심률이 $e=0$인 원의 경우에는 $L=4b\times \frac{\pi }{2}=2\pi b$임을 확인할 수 있고, 이심률이 $e=1$인 경우(완전히 눌린 타원으로 끝이 연결된 두 선분)는  적분값이 1 이므로 둘레길이가 $L=4b$임도 확인할 수 있다.

참고:  $\sin \theta =(e^{i\theta }-e^{-i\theta })/2i$임과 이항정리를 쓰면

$${\sin }^{2n}\theta =\frac{1}{(2i{)}^{2n}}\sum _{k=0}^{2n}\left(\begin{array}{c}2n\\ k\end{array}\right)e^{-i2(n-k)\theta }(-1{)}^k$$

이므로 적분을 하면

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2n}\theta d\theta =\frac{(-1{)}^n}{2^{2n}}[\sum _{k=0,k\ne n}^{2n}\left(\begin{array}{c}2n\\ k\end{array}\right)\frac{(-1{)}^n-(-1{)}^k}{2i(n-k)}+\left(\begin{array}{c}2n\\ n\end{array}\right)\frac{\pi }{2}(-1{)}^n]$$

인데, $\left(\begin{array}{c}2n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2n\\ 2n-k\end{array}\right)$임을 고려하면 $\sum$ 내부의 항들은 서로 상쇄되어 위의 결과를 얻는다.  

 

그렇지만 위의 무한수열은 이심률이 작은 경우를 제외하고는 수렴이 빠르게 이루어지지 않아 실질적인 계산에 쓰기에는 문제가 있다. 좀 더 빠르게 수렴하는 타원 둘레길이 표현을 찾아보자. 이심률을 쓰는 식은 장축과 단축에 대해서 비대칭적이다. 좀 더 대칭적인 표현을 구하기 위해서 다음과 같이 두축의 차이와 두축의 합의 비를 이용하자. 

$$a=\frac{a+b}{2}(1-\sqrt{h}),b=\frac{a+b}{2}(1+\sqrt{h})$$

로 정의하면

$$h=(\frac{a-b}{a+b}{)}^2$$

임을 알 수 있고, $a,b$에 대해서 대칭적이다.  그리고,

$$\begin{array}{rl}{a}^2{\sin }^2\theta +b^2{\cos }^2\theta & =\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{a^2-b^2}{2}\cos (2\theta )\\ & =\frac{(a+b{)}^2}{4}(1+h+2\sqrt{h}\cos 2\theta )\\ & =\frac{(a+b{)}^2}{4}(1+z)(1+\overline{z})\end{array}$$

여기서 $z=\sqrt{h}{e}^{i2\theta }$, $\overline{z}=\sqrt{h}{e}^{-i2\theta }$로 정의했다. 이항정리를 이용해서 적분인자를 전개하면 

$$\begin{array}{rl}L& =2(a+b){\int }_0^{\pi /2}\sqrt{(1+z)(1+\overline{z})}d\theta \\ & =2(a+b)\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}1/2\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1/2\\ n\end{array}\right)h^{(m+n)/2}{\int }_0^{\pi /2}{e}^{i2\theta (m-n)}d\theta \end{array}$$

을 얻는다. 그리고

$${\int }_0^{\pi /2}{e}^{i2\theta (m-n)}d\theta =\frac{\pi }{2}{\delta }_{mn}$$

이므로 다음과 같은 타원 둘레길이에 대한 식을 얻을 수 있다.

$$\begin{array}{rl}L& =\pi (a+b)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\begin{array}{c}1/2\\ n\end{array}\right)}^2{h}^n\\ & =\pi (a+b)[1+\frac{1}{4}h+\frac{1}{64}{h}^2+\frac{1}{256}{h}^3+\dots ],h={\left(\frac{a-b}{a+b}\right)}^2\end{array}$$

여기서 $\left(\begin{array}{c}1/2\\ n\end{array}\right)=(1/2)(1/2-1)\cdots (1/2-n+1)/n!$로

$$\left(\begin{array}{c}1/2\\ n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2n\\ n\end{array}\right)\frac{1}{(1-2n)(-4n{)}^n}$$

이다. 완전히 납작한 타원($h=1$ or $e=1$)인 경우 $L=4b$이므로 

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\begin{array}{c}1/2\\ n\end{array}\right)}^2=\frac{4}{\pi }$$

임을 확인할 수 있다.