n 차원 공의 부피

반지름이 $r$인 $n$차원 공의 부피 $V_n(r)$은 $r^n$에 비례하므로 

$$ V_n(r) = K_n r^n$$

처럼 쓸 수 있다. 계수 $K_n$는 반지름이 1인 공의 부피를 나타낸다. $K_n$을 구하기 위해서 다음의 $n$ 차원 gaussian 적분을 고려하자.

$$ I_n = \int_{-\infty}^\infty dx_1 \int_{-\infty}^\infty dx_2 \cdots \int_{-\infty}^\infty dx_n e^{-x_1^2 - x_2^2 - \cdots - x_n^2}$$

이 적분은 

$$I_n= \Big( \int_{-\infty}^\infty  e^{-x^2} dx\Big)^n = (\sqrt{\pi})^{n}$$

임을 쉽게 알 수 있다.  $n$ 공간에서 보면 적분인자가 중심에서 $(x_1, x_2,\cdots, x_n)$까지의 거리의 제곱 $x_1^2 + x_2^2 +\cdots + x_n^2$에만 의존하는 구대칭을 가진다. 따라서 $I_n$은 공간을 미소구각으로 나눈 후 $r$로 적분만 하면 된다. 이 경우 적분요소는 

$$ dx_1 dx_2 \cdots dx_n =( \text{구각면적}) \times dr= \frac{dV_n}{dr} dr = nK_n r^{n-1} dr$$ 

$$ I_n = \int_0^\infty e^{-r^2 }  nK _n r^{n-1} dr = \frac{n K_n }{2} \int_0^\infty e^{-t} t^{n/2-1} dt =K_n \frac{n}{2} \left(n/2-1\right)! = { K_ n } \times  (n/2)!$$

따라서 

$$ K_n = \frac{\pi^{n/2}}{(n/2)!}=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}$$

$(-1/2)!=\sqrt{\pi}$, $(1/2)!= \sqrt{\pi}/2$임을 고려하면

\begin{align} K_0 &= 1 \\ K_1 &= 2 \\  K_2 &= \pi=3.1415 \\ K_3 &= \frac{4\pi }{3}= 4.18879 \\ K_4 &= \frac{\pi^2}{2} = 4.9348\\ K_5 &= \frac{8\pi^2}{15} =  5.26379 \\ K_6 &= \frac{\pi^3}{6}  = 5.16771 \\ K_7 &= \frac{16\pi^3}{105}=4.72477 \\ K_ 8 &= \frac{\pi^4}{24}=4.05871 \\ K_{2n}& = \frac{\pi^n }{ n!},\qquad K_{2n+1} = \frac{2(2\pi)^n}{(2n+1)!!} \end{align} 

이 결과를 보면 차원이 증가하면 단위공의 부피값이 증가하다가 5차원에서 최대가 된 후 다시 감소한다.

$n$ 차원 단위공은 한변의 길이가 $2$인 $n$ 차원 cube에 담기게 되는데 큐브에서 공이 차지하는 부피는 

$$ \frac{K_n}{2^n}$$이다. 차원이 커지면 이 값은 빠르게 0으로 수렴한다. Stirling 근사를 쓰면

$$ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e}\right)^n , \qquad n \gg 1$$

이므로 

$$\frac{K_n }{ 2^n} \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi n}} \left(  \frac{2n}{\pi e}\right)^{-n}$$