n 차원 공의 부피(Volume of an n Ball)

반지름이 $r$인 $n$차원 공의 부피 $V_n(r)$은 $r^n$에 비례하므로 

$$V_n(r)=K_n{r}^n$$

처럼 쓸 수 있다. 계수 $K_n$는 반지름이 1인 공의 부피를 나타낸다. $K_n$을 구하기 위해서 다음의 $n$ 차원 gaussian 적분을 고려하자.

$$I_n={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}d{x}_1{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}d{x}_2\cdots {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}d{x}_n{e}^{-x_1^2-x_2^2-\cdots -x_n^2}$$

이 적분은 

$$I_n=({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx{)}^n=(\sqrt{\pi }{)}^n$$

임을 쉽게 알 수 있다.  $n$ 공간에서 보면 적분인자가 중심에서 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$까지의 거리의 제곱 $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2$에만 의존하는 구대칭을 가진다. 따라서 $I_n$은 공간을 미소구각으로 나눈 후 $r$로 적분만 하면 된다. 이 경우 적분요소는 

$$d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_n=(\text{구각면적})\times dr=\frac{d{V}_n}{dr}dr=n{K}_n{r}^{n-1}dr$$ 

$$I_n={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-r^2}n{K}_n{r}^{n-1}dr=\frac{n{K}_n}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}{t}^{n/2-1}dt=K_n\frac{n}{2}(n/2-1)!=K_n\times (n/2)!$$

따라서 

$$K_n=\frac{{\pi }^{n/2}}{(n/2)!}=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(n/2+1)}$$

$(-1/2)!=\sqrt{\pi }$, $(1/2)!=\sqrt{\pi }/2$임을 고려하면

$$\begin{array}{rl}{K}_0& =1\\ K_1& =2\\ K_2& =\pi =3.1415\\ K_3& =\frac{4\pi }{3}=4.18879\\ K_4& =\frac{{\pi }^2}{2}=4.9348\\ K_5& =\frac{8{\pi }^2}{15}=5.26379\\ K_6& =\frac{{\pi }^3}{6}=5.16771\\ K_7& =\frac{16{\pi }^3}{105}=4.72477\\ K_8& =\frac{{\pi }^4}{24}=4.05871\\ K_{2n}& =\frac{{\pi }^n}{n!},K_{2n+1}=\frac{2(2\pi {)}^n}{(2n+1)!!}\end{array}$$ 

이 결과를 보면 차원이 증가하면 단위공의 부피값이 증가하다가 5차원에서 최대가 된 후 다시 감소한다.

$n$ 차원 단위공은 한변의 길이가 $2$인 $n$ 차원 cube에 담기게 되는데 큐브에서 공이 차지하는 부피는 

$$\frac{K_n}{2^n}$$이다. 차원이 커지면 이 값은 빠르게 0으로 수렴한다. Stirling 근사를 쓰면

$$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n,n\gg 1$$

이므로 

$$\frac{K_n}{2^n}\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}{\left(\frac{2n}{\pi e}\right)}^{-n}$$