열방정식의 Green function

1차원 열방정식은 

$$u_t (x,t)= \kappa u_{x x}(x,t), \qquad -\infty < x < \infty,~t>0$$

으로 초기조건이 주어지거나 경계조건이 주어야 한다. $u(x,t)$가 해라면 $u(\lambda  x , \lambda^2 t)$ 또한 해가 됨음 쉽게 확인해 볼 수 있다. 즉, 열방정식은 scale 변경에 불변이 특성을 가진다. 이 특성을 이용해서 열방정식의 특별한 해를 구해보자. scale 불변성을 보면 해의 $x,t$에 대한 의존성은 $x/\sqrt{t}\to \lambda x/\sqrt{\lambda^2 t} = x/\sqrt{t}$의 조합형태로 나타나야 될 것으로 보인다.

$$u(x,t) = h(x/\sqrt{t})$$

그런데 에너지 보존에 의해서 계의 전체 열에너지는 시간에 무관하게 일정한 값을 가져야 한다. 열에너지가 온도에 비례하므로 총 열에너지는 다음 적분값에 비례한다.

$$\int_{-\infty}^\infty u(x,t) dx = \text{const}$$

따라서 $u = h(x/\sqrt{t})$와 같은 형태의 해는 에너지 보존을 만족시킬 수 없다.

$$\int _{-\infty}^\infty h(x/\sqrt{t}) dx = \sqrt{t} \int_{-\infty}^\infty h(y) dy \propto \sqrt{t}$$

그렇지만 $u(x,t) dx$가 스케일 불변꼴이면 가능하므로 

$$u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{t}} h( x / \sqrt{t})$$

와 같은 형태로 시도하자. 그러면 열방정식의 좌우변의 항이

$$u_{xx} = t^{-3/2} h'' (x/\sqrt{t}), \qquad u_t = -\frac{1}{2} t^{-3/2}\Big[ h(x/\sqrt{t}) + h'(x/\sqrt{t}) x/\sqrt{t} \Big]$$

이므로 이를 열방정식에 대입하면 ($y= x/\sqrt{t}$)

$$\begin{align} \kappa h''(y) + \frac{1}{2} h(y) + \frac{1}{2} y h'(y)=0 \\ \to ~ h''(y) + \frac{1}{2\kappa} (y h(y) )' = 0 \\ \to~ h'(y) + \frac{y}{2\kappa } h(y) = \text{const} \to 0 \end{align}$$

여기서 $\text{const}=0$ 일 때 해만 고려한다. 이 경우

$$h(y) = A e^{- y^2/4\kappa} \qquad \to \qquad u(x,t) = \frac{A}{\sqrt{t}} e^{- x^2 / 4\kappa t }$$

인 해를 얻는다. $\int _{-\infty}^\infty u(x,t) dx = 1$로 정규화시키면 적분상수 $A$는

$$A= \frac{1}{\sqrt{4\pi \kappa } }$$

임을 알 수 있다. 이렇게 정규화된 해를 열방정식의 기본해, Green 함수 또는 heat kernel이라고 부른다.

$$K(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t} }e^{- x^2/4\kappa t}$$

$K(x,t)$는 $t\to 0^+$일 때 $\delta(x)$와 같은 특성을 가지는데, 물리적으로는 $t=0$ 시점에 원점에 $\delta-$함수로 표현되는 열원을 놓았을 때 열의 확산을 기술하는 해이다. 열방정식이 선형이므로  $x-$축을 따라 분포된 각각의 $\{ \delta(x-x_i)| i=1,2,\dots\}$ 열원의 선형결합도 해가 된다. 

$$u(x,t) = \sum_i K(x-x_i, t) f_i$$

또한 연속적으로 분포하는 열원의 경우에는 합을 적분형태로 변경하면 되므로 $t=0$일 때 온도분포가 $f(x)$로 주어진 경우 다음 표현이

$$u(x,t) = \int_{-\infty}^\infty K(x-y, t)f(y)dy$$

열방정식을 만족시키고, 초기조건도 만족시킴을 확인할 수 있다.

$$\lim_{t\to 0} \int_{-\infty}^\infty K(x-y, t) f(y)dy = \int_{-\infty}^\infty \delta(x-y) f(y) dy = f(y)$$

 

해의 몇가지 재미있는 특징을 살펴보자. $t=0$일 때 열원이 유한한 영역에서만 0이 아니더라도 $K(x,t>0)$가 0이 아니기 때문에 매우 짧은 시간에 모든 영역으로 열이 퍼져나간다. 즉 열이 퍼지는 속도가 무한대에 해당한다. 열방정식은 비상대론적인 방정식이다. 두 번째로 $t>0$일 때 $K(x-y,t)$가 $x=y$인 지점에서 벗어나는 경우에 매우 빨리 0으로 변하므로 해는 무한번 미분가능하다. 즉, 처음 주어진 온도 분포가 불연속적이더라도 바로 매끄러운 온도분포로 변하게 만드는 특성이 있다. 이 열방정식을 잡음이 들어있는 신호나 영상에 적용하면 smoothing 효과를 줄 수 있다. 그리고

$$\begin{align}u(\lambda x, \lambda^2 t) &= \int K(\lambda x - y, \lambda ^2 t) f(y)dy \\ &= \int K(\lambda x - \lambda y' , \lambda^2 t )  {\lambda } f(\lambda y') dy' \\ &= \int K(x-y',t)  {\lambda }f(\lambda y') dy' \end{align}$$

이므로 스케일링된 해는 초기 온도분포가 $\lambda f(\lambda y)$인 경우와 같음을 알 수 있다. 초기에 국소적으로 가열된 경우라면 $\lambda f(\lambda x)$의 분포는 거의 $\delta$ 함수에 접근할 것이므로 충분히 시간이 지나고 먼 거리에서는 온도분포는 초기조건에 무관하게 됨을 알 수 있고, 이는 smoothing 효과로 이해할 수 있다.