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지구 표면의 온도는 1년을 단위로 거의 주기적으로 변한다. 그럼 땅속의 온도는 시간과 깊이에 따라 어떻게 변할까? 지표면이 태양으로부터 받은 열은 일부는 반사되고 일부는 땅속으로 전달된다. 땅속에서 온도의 변화는 열방정식에 의해서 표현할 수 있다. 땅속의 온도분포 u가 지표면에서 깊이 x와 시간 t에만 의존한다면 u(x,t)가 만족하는 열방정식은(거리척도를 적당하게 잡아 계수를 단순화시킨다)

ut(x,t)=uxx(x,t)

로 주어진다. u(x,t)t에 대해서 주기가 1년인 주기함수이므로 Fourier 급수를 이용해서 방정식을 풀도록 하자. 

u(x,t)=n=Cn(x)ei2πntCn(x)=10u(x,t)ei2πntdt

Fourier 계수 Cn(x)를 두 번 미분하면

d2Cn(x)dx2=10uxx(x,t)ei2πntdt=10u(x,t)tei2πntdt=i2πn10u(x,t)ei2πntdt=i2πnCn(x)

이므로 Cn은 다음의 방정식을 만족해야 한다.

d2Cn(x)dx2=i2πnCn(x)

깊이 x가 증가할 때 온도가 발산하지 않는 조건을 고려하면 이 방정식의 해는 

Cn(x)={Aneπn(1+i)x   n0Aneπ|n|(1i)x   n<0

로 쓸 수 있음을 쉽게 알 수 있다. 따라서 열방정식의 해 u(x,t)

u(x,t)=n=Aneπ|n|xei(2πntsign(n)π|n|x)

처럼 쓰인다. 온도는 깊이에 따라 감쇄를 하여 계절에 따른 온도변화가 점점 작아진다. 그리고 깊이에 따른 위상이 추가되므로 지표면에서의 온도변화와 다른 양상을 가지게 된다. 이를 구체적으로 보기 위해서 계절에 따른 지표면에서 온도 u(x=0,t)을 간단히 시간 t에 대한 사인함수로 근사하자. 이 경우 평균온도가 0인데, 평균온도가 0이 아니 경우는 여기서 구한 해에  평균온도만큼을 더해주면 된다.

u(0,t)=sin(2πt)

지표면에서 Fourier 계수는 

Cn(0)=An=10u(0,t)ei2πntdt={±12i   n=±10  otherwise

따라서 해는 

u(x,t)=12ieπ(1+i)xei2πt12ieπ(1i)xei2πt=eπxsin(2πtπx)

해를 보면 온도는 깊이에 따라 감쇄를 하여 온도변화가 점점 사라지고, 시간에 대해서는 깊이에 따른 위상변화가 생긴다. 특히 깊이 x=π에서는 위상이 π 만큼 변해서 지표면에서의 시간에 대한 온도변화와 완전히 반대로 행동한다. 즉, 겨울에는 따뜻하고 여름에는 시원해진다. 물론 이 깊이는 땅의 열확산계수(κ)에 따라 달라진다. 열확산계수를 고려하려면 xx/κ을 사용하면 된다. 땅의 열확산계수가 κ0.1×106m2/s=3.15m2/yr 정도이므로 x=κπ3m이다. 즉, 땅 속 깊이 x3m 정도이면 온도변화는 지표면의 eπ=0.043배 정도로 줄어들고 겨울이 여름보다 상대적으로 더 따뜻하게 된다.

이는 물리적으로 쉽게 이해를 할 수 있는 현상으로 깊이 들어갈수록 온도차가 작아져서 열전달이 느려지므로 상대적으로 빨리 변하는 표면에서의 온도변화에 맞추지 못하여 변화가 지연되어 나타나는 것으로 볼 수 있다.

 

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