Geometry & Recognition

우선 떨어지는 부분은 사슬고리 사이의 마찰 등을 무시하면 오직 중력에 의해서 자유낙하한다. 사슬이 바닥에 닿을 때 바닥이 주는 충격력에( 바닥의 수직항력) 의해서 정지하게 된다. 따라서 떨어지는 부분(관심 대상은 떨어지고 있는 부분과 충격력에 의해서 순간 정지하는 미소 질량까지 포함된 계이다. 왜냐면 바닥의 충격력 $f$가 미소 질량에 외력으로 작용하기 때문임)에 작용하는 알짜힘은 자체의 중력과 바닥이 주는 충격력$(f)$이다. 떨어지는 부분의 질량 $m(t)$는 시간에 따라 계속 변하고, 자유낙하이므로 

$$y(t)=\frac{1}{2}g{t}^2,m(t)=\lambda (L-y)=\lambda (L-\frac{1}{2}g{t}^2),$$

로 주어진다. 운동방정식은(아래 방향=+)

$$\frac{dp}{dt}=\sum F_y=mg-f(t).$$

$$\frac{dp}{dt}=\frac{d(mv)}{dt}=\frac{dm}{dt}v+m\frac{dv}{dt}=-\lambda g{t}^2+mg$$

이므로 떨어지는 부분이 바닥으로부터 받는 충격력은

$$-\lambda g^2{t}^2+mg=mg-f(t)⟶f(t)=\lambda g^2{t}^2.$$

사슬이 완전히 바닥에 떨어지는데 걸리는 시간은 $L$ 높이에서 자유낙하하는 데 걸린 시간

$$y=L⟶t=\sqrt{\frac{2L}{g}},$$

이므로 다 떨어지는 순간 $f$는 

$$f(y=L)=\lambda g^2{\left(\sqrt{\frac{2L}{g}}\right)}^2=2\lambda gL=2Mg.$$

이 순간 바닥에 작용하는 알짜힘은 $f$의 반작용과 이미 바닥에 정지한 사슬의 무게이므로

$$F_{bot}=f(y=L)+Mg=3Mg.$$

보다 직관적으로는 사슬의 떨어지는 끝부분이 바닥에 닿는 순간 속도가 유한한 값에서 0으로 변하므로 바닥으로부터 끊임없이 충격량을 받아야 한다. $dm$의 질량이 정지하려면 바닥이 제공해야 할 충격량 $dJ$은

$$dJ=dm(v-0)=(\lambda dy)v\to f=\frac{dJ}{dt}=\lambda \frac{dy}{dt}v=\lambda v^2.$$

다 내려오는 순간 사슬의 속력은 $v^2=2gL$ 이므로,  $f=\lambda (2gL)=2Mg$.

경사면에서 마찰도 없다면 물체가 받는 힘은 중력과 수직항력뿐이다. 이 수직항력의 반작용 때문에 경사면은 밀려나게 된다. 수평 방향을 $x$-축, 수직 방향을 $y$-축으로 잡고 FBD을 이용해서 물체와 경사면의 운동 방정식을 쓰면, 경사면을 내려오는 물체의 가속도는

$$\begin{array}{rl}\sum F_x& =N\sin \theta =m{a}_x,\\ \sum F_y& =N\cos \theta -mg=m{a}_y.\end{array}$$

경사면은 수평 방향 운동만 가능하므로 수평 가속도는

$$\sum F_x=-N\sin \theta =M{a}_X.$$

물체가 경사면에서만 움직이므로 $x_1$, $y_1$, $x_2$가 완전히 독립적일 수 없다:

$$\tan \theta =\frac{y_1}{x_2-x_1}=\text{const}⟶{\ddot{y}}_1=({\ddot{x}}_2-{\ddot{x}}_1)\tan \theta$$ $$\text{or}{a}_y=(a_X-a_x)\tan \theta .$$

수직항력 $N$, 물체의 수평/수직 가속도 $a_x={\ddot{x}}_1$, $a_y={\ddot{y}}_1$, 그리고 경사면의 수평 가속도 $a_X={\ddot{x}}_2$에 대한 4개의 식이 주어졌다. 이것을 풀면(연립 방정식이므로 쉽다).

$$\begin{array}{c}N=mg\frac{\cos \theta }{1+\frac{m}{M}{\sin }^2\theta },\\ a_x=g\frac{\sin \theta \cos \theta }{1+\frac{m}{M}{\sin }^2\theta },a_y=-g\frac{(1+\frac{m}{M}){\sin }^2\theta }{1+\frac{m}{M}{\sin }^2\theta },\\ a_X=-g\frac{\frac{m}{M}\sin \theta \cos \theta }{1+\frac{m}{M}{\sin }^2\theta }\end{array}$$

을 얻는다. 수평 방향이나 수직 방향 운동 모두 등가속도이다.

$M\gg m$인 경우를 보면, 경사면이 고정되어 있을 때 수직항력과 같음을 알 수 있다: $N\to mg\cos \theta$.

물체는 직선의 경로를 따라 내려가는데 그 각도는

$$\tan \varphi =\frac{|a_y|}{|a_x|}=(1+\frac{m}{M})\tan \theta =\text{const}$$

이므로 경사면의 각보다 더 크다. 이는 경사면이 왼쪽으로 밀리기 때문이다.

1. 경사면과 같이 움직이는 관찰자가 볼 때 물체가 내려가는 가속도는?
2. 다 내려왔을 때 물체와 경사면의 속력은?
3. 다 내려왔을 때 물체와 경사면은 처음 수평 위치에서 얼마나 벗어났는가?

운동 방정식을 직접적으로 사용하지 않고 두 질문을 해결하는 방법은?

어려운 설명을 볼 수 있는 동영상:

youtu.be/xzKPlY4 Dnrw