동전은 언제 책상 모서리에서 떨어지는가?

책상 위를 구르는 동전이 책상 가장자리에 도달하면 모서리를 축으로 회전을 한다. (물론 모서리에서 마찰이 충분히 제공된다는 전제 하에서). 그러다가 모서리에서 떨어지게 되는데 언제일까?

모서리를 축으로 $\theta$만큼 회전한 상황에서 에너지 보존을 쓰면 위치에 따른 속력을 구할 수 있다:

$$mgR=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}{I}_{\text{coin}}{\omega }^2+mgR\cos \theta ,(v=R\omega ,I_{\text{coin}}=\frac{1}{2}m{R}^2)$$

$$\to v^2=\frac{4}{3}gR(1-\cos \theta )$$

동전의 질량중심은 모서리를 축으로 회전을 하는데 수직항력과 중력의 일부가 구심력을 만든다.

$$\sum F_c=-N+mg\cos \theta =\frac{m{v}^2}{R}$$

모서리와 접촉을 유지하기 위해서는 수직항력이 사라지지 않아야 하므로

$$N=mg\cos \theta -\frac{m{v}^2}{R}>0\to v^2<gR\cos \theta .$$ 

에너지 보존에서 얻은 결과와 결합하면 모서리에 접촉하고 있는 각 범위를 구할 수 있다.

$$\frac{4}{3}(1-\cos \theta )<\cos \theta \therefore \theta <{\cos }^{-1}\left(\frac{4}{7}\right).$$

대략 $\theta ={55.15}^{\circ }$에서 책상 모서리와 이별한다.