회전 각가속도는?

매끄러운 벽에 그림처럼 막대를 $60^\circ$ 기울인 상태로 잡고 있다 가만히 놓는다. 바닥의 마찰도 없다. 손을 놓은 직후 미끄러지기 시작하는 막대의 (반시계방향) 회전 각가속도는?

1. $\frac{3g}{4L}$

2. $\frac{3g}{4L}$ 보다 크다.

3. $\frac{3g}{4L}$ 보다 작다.

4. 막대의 회전관성을 결정하는 질량/길이에 따라 다르다.

 

힌트: 질량중심+질량중심에 대한 회전운동 방정식을 사용해도 되고, 미끄러지는 동안 막대가 순간적인 회전을 한다고 보고 해결할 수도 있다(물론 회전축의 위치는 연속적으로 변한다).

 

막대가 운동을 시작할 때 $(L/2, \sqrt{3}L/2)$인 지점을 축으로 순간적으로 회전을 한다. 이 회전축에 대한 회전관성은 $I_p = \frac{1}{3} mL^2$이고, 벽과 바닥이 작용하는 수직항력은 토크를 만들지 못하고 중력만 기여한다. 따라서 회전운동방정식은

$$ mg \frac{L}{2}\cos \theta =  \frac{1}{3}mL^2 \alpha$$

막대는 언제 벽에서 떨어질까?(이전에 비슷한 질문이 있었다). 구체적으로 운동방정식을 풀어서 계산할 수 있는가?