손에 충격을 덜 받으면서 나무 부러뜨리기

나무막대(길이=$\ell$)를 바위에 쳐서 부러뜨리려고 한다. 막대의 어느 지점이 바위에 닿게 쳐야 손이 받은 충격을 최소로 할 수 있을까? 손은 막대의 끝을 잡았고, 중력은 무시해도 된다.

풀이:

바위를 치는 지점이 막대의 질량중심을 넘지 않으면 질량중심의 가속도와 손잡이 부분에서 회전에 의한 접선 가속도가 같은 방향이어서 항상 힘을 받는다. 막대가 바위를 치는 과정에서 바위는 막대에게 힘 $F_{\text{rock}}$을 주고 또 손에서 힘($F_{\text{hand}}$)을 줄 수 있다. 이 두 힘이 막대의 질량중심을 가속시키고, 또한 질량중심에 대해서 회전운동을 만든다. 손이 잡고 있는 끝부분은 질량중심과 같은 가속도 성분($a_{\text{cm}}$)과 회전에 의한 반대방향의 접선가속도($a_t=\frac{\ell }{2}\alpha$)를 가지게 된다. 방향이 반대인 이 두 가속도의 벡터합이 손을 잡고 있는 끝부분의 알짜 가속도가 되고, 끝부분이 움직이지 않으면 손에 충격을 주게 된다. 따라서 손이 충격을 받지 않기 위해서는 이 가속도가 0이 되도록 바위에 부딪히는 위치를 조절해야 한다. 손에서 부딪히는 지점까지 거리를 $x$라면, 막대의 운동방정식은

$$\begin{array}{rl}& \text{translation:}m{a}_{\text{cm}}=F_{\text{rock}}+F_{\text{hand}},\\ & \text{rotation:}I\alpha =F_{\text{rock}}(x-\frac{\ell }{2})-F_{\text{hand}}\frac{\ell }{2}\end{array}$$

손잡이 부분의 가속도가 0이 되어야 하므로

$$\begin{array}{rl}{a}_{\text{end}}& =a_{\text{cm}}-\frac{\ell }{2}\alpha \\ & =\frac{F_{\text{rock}}+F_{\text{hand}}}{m}-\frac{\ell }{2I}[F_{\text{rock}}(x-\frac{\ell }{2})-F_{\text{hand}}\frac{\ell }{2}]\\ & =0\\ \to & \frac{F_{\text{hand}}}{F_{\text{rock}}}=\frac{m{\ell }^2(\frac{x}{\ell }-\frac{1}{2}-\frac{2I}{m{\ell }^2})}{1+\frac{m{\ell }^2}{4I}}\end{array}$$

손이 작용하는 힘이 0이기 위해서는

$$\frac{x}{\ell }=\frac{1}{2}+\frac{2I}{m{\ell }^2}$$을 만족시켜야 한다. 막대의 회전관성이 $I=m{\ell }^2/12$이므로

$$x=\frac{2}{3}\ell$$

즉 막대 끝을 잡고 내리칠 때 막대 길이의 $2/3$ 지점을 치면 손이 받은 충격이 없게 된다.