빙판 위에서 회전하는 동전 붙잡기

빙판 위에서 회전하는 동전의 가장자리 한 지점을 순간적으로 붙잡는다. 이후 동전의 중심이 움직이게 되는데 그 속도가 붙잡히기 직전 그 지점 속도(접선속도)의 1/5임을 보일 수 있다.

풀이:

붙잡는 과정에서 충격량 $\overrightarrow{J}=J\hat{i}$이 동전에 전달된다(전제: 붙잡는 순간 동전면이 $y-z$평면에 있고, 위에서 내려다 볼 때 반시계방향으로 회전한다. 따라서 $\overrightarrow{\omega }=\omega \hat{k}$). 붙잡힌 직후 운동량 변화는

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{P}=J\hat{i}$$  충격량은 각운동량도 변화시키므로 (붙잡힌 지점: ${\overrightarrow{r}}_P=R\sin \theta \hat{j}+R\cos \theta \hat{k}$)

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{L}={\overrightarrow{r}}_P\times \mathrm{\Delta }\overrightarrow{P}=-JR\sin \theta \hat{k}+JR\cos \theta \hat{j}$$

따라서 붙잡힌 직후 동전의 각운동량은

$${\overrightarrow{L}}_f=I_z\omega \hat{k}-JR\sin \theta \hat{k}+JR\cos \theta \hat{j}$$

붙잡히 지점은 정지하므로

$${\overrightarrow{v}}_f={\overrightarrow{v}}_{\text{cm}}+{\overrightarrow{\omega }}_f\times {\overrightarrow{r}}_P=0$$

$$\frac{J}{M}\hat{i}-\omega R\sin \theta \hat{i}+\frac{1}{I_z}(JR\sin \theta )R\sin \theta \hat{i}+\frac{1}{I_y}(JR\cos \theta )R\cos \theta \hat{i}=0$$

그런데 $I_y=I_z=\frac{1}{4}M{R}^2$이므로

$$J=\frac{M}{5}\omega R\sin \theta$$ 회전축에서 먼 지점을 붙잡을수록 더 큰 충격이 필요함을 알 수 있다. 붙잡히기 직전 그 지점의 접선 속력이 

$$v_i=\omega R\sin \theta \to J=\frac{M}{5}{v}_i$$

이므로 붙잡힌 직후 질량중심이 움직이는 속력은

$$v_{f,\text{cm}}=\frac{J}{M}=\frac{v_i}{5}$$