빙판 위에서 회전하는 동전 붙잡기

빙판 위에서 회전하는 동전의 가장자리 한 지점을 순간적으로 붙잡는다. 이후 동전의 중심이 움직이게 되는데 그 속도가 붙잡히기 직전 그 지점 속도(접선속도)의 1/5임을 보일 수 있다.

풀이:

붙잡는 과정에서 충격량 $\vec{J} = J \hat{i}$이 동전에 전달된다(전제: 붙잡는 순간 동전면이 $y-z$평면에 있고, 위에서 내려다 볼 때 반시계방향으로 회전한다. 따라서 $\vec{\omega} = \omega \hat{k}$). 붙잡힌 직후 운동량 변화는

$$ \Delta \vec{P} =J  \hat {i}$$  충격량은 각운동량도 변화시키므로 (붙잡힌 지점: $\vec{r}_P = R\sin \theta \hat{j} + R\cos \theta \hat{k}$)

$$ \Delta \vec{L} = \vec{r}_P \times \Delta \vec{P} =  -JR \sin \theta \hat{k}+ JR \cos \theta \hat{j}$$

따라서 붙잡힌 직후 동전의 각운동량은

$$ \vec{L}_f = I_z \omega \hat{k}  -JR \sin \theta \hat{k}+ JR \cos \theta \hat{j}$$

붙잡히 지점은 정지하므로

$$ \vec{v}_f = \vec{v}_\text{cm} + \vec{\omega}_f \times \vec{r}_P=0$$

$$ \frac{J}{M} \hat{i} - \omega R\sin \theta  \hat{i} +\frac{1}{I_z} (JR \sin\theta) R\sin \theta \hat{i} + \frac{1}{I_y} (J R \cos \theta) R \cos \theta \hat{i} = 0$$

그런데 $I_y = I_z = \frac{1}{4} MR^2$이므로

$$ J =  \frac{M}{5} \omega R \sin \theta$$ 회전축에서 먼 지점을 붙잡을수록 더 큰 충격이 필요함을 알 수 있다. 붙잡히기 직전 그 지점의 접선 속력이 

$$ v_i = \omega R \sin \theta ~~\to ~~ J = \frac{M}{5} v_i $$

이므로 붙잡힌 직후 질량중심이 움직이는 속력은

$$ v_{f, \text{cm}} = \frac{J}{M} = \frac{v_i}{5}$$