상자가 다시 기울어지는 최대각은?

균일한 정사각형의 상자가 A를 기준으로 똑바로 서있다가 떨어지기 시작한다. 바닥이 충분히 거칠어서 전 과정에서 미끌어짐이 발생하지는 않는다. 그리고 B점에서 충돌은 완전비탄성적이다. 이후 상자가 바닥과 이루는 최대각 $\theta$를 구하라.

풀이:

1. 상자가 떨어지는 과정:  상자는 A지점을 중심으로 회전운동을 한다. 따라서 B가 바닥에 닿기 직전 회전각속도 ${\omega }_0$는 에너지 보존을 사용하면 ($I_A=I+m(\ell /\sqrt{2}{)}^2$는 A에 대한 상자의 회전관성)

$$\mathrm{\Delta }K=\frac{1}{2}{I}_A{\omega }_0^2-0=-\mathrm{\Delta }U=\frac{mg\ell }{2}(\sqrt{2}-1)$$

$$\to {\omega }_0^2{\ell }^2=\frac{3}{2}g\ell (\sqrt{2}-1)$$

2. B에서 충돌전후: B에서 충돌이 완전비탄성적이므로 B점의 반동은 없다. 그리고 충돌과정에서 B점을 기준으로 회전을 하므로 B점에 대한 각운동량 보존된다(충격력이 B점에만 집중). 충돌 전 질량중심의 운동량은  B를 향하는 방향이므로 B점에 대한 각운동량에 기여가 없고, 충돌 후 질량중심의 속도가 $\omega \frac{\ell }{\sqrt{2}}$임을 고려하면, 충돌 전후 B점에 대한 각운동량 보존식은

$$I{\omega }_0+m{v}_{\text{cm}}\frac{\ell }{\sqrt{2}}\sin (0)=I\omega +\left(m\omega \frac{\ell }{\sqrt{2}}\right)\frac{\ell }{\sqrt{2}}$$ $$\to \omega =\frac{1}{4}{\omega }_0$$

3. 오르는 과정: B에 대해서 회전운동을 한다. 최고로 높이 올라간 위치에서 질량중심의 높이를 $h$라면, 역학적에너지 보존에서

$$\mathrm{\Delta }K=0-\frac{1}{2}{I}_B{\omega }^2=-\frac{1}{3}m{\ell }^2{\omega }^2=-\mathrm{\Delta }U=-mg\ell (\frac{h}{\ell }-\frac{1}{2})$$ $$\to \frac{h}{\ell }=\frac{15+\sqrt{2}}{32}$$

이때 상자가 바닥에 대해서 기울어진 각도를 $\theta$라면

$$\sin ({45}^{\circ }+\theta )=\frac{h}{\ell /\sqrt{2}}\to \theta ={1.50}^{\circ }$$