상자가 다시 기울어지는 최대각은?

균일한 정사각형의 상자가 A를 기준으로 똑바로 서있다가 떨어지기 시작한다. 바닥이 충분히 거칠어서 전 과정에서 미끌어짐이 발생하지는 않는다. 그리고 B점에서 충돌은 완전비탄성적이다. 이후 상자가 바닥과 이루는 최대각 $\theta$를 구하라.

풀이:

1. 상자가 떨어지는 과정:  상자는 A지점을 중심으로 회전운동을 한다. 따라서 B가 바닥에 닿기 직전 회전각속도 $\omega_0$는 에너지 보존을 사용하면 ($I_A = I + m(\ell/\sqrt{2})^2$는 A에 대한 상자의 회전관성)

$$ \Delta K = \frac{1}{2} I_A \omega_0^2 - 0 = -\Delta U = \frac{mg\ell}{2}( \sqrt{2} -1)$$

$$ \to~~ \omega_0^2 \ell^2 = \frac{3}{2} g\ell ( \sqrt{2}-1)$$

2. B에서 충돌전후: B에서 충돌이 완전비탄성적이므로 B점의 반동은 없다. 그리고 충돌과정에서 B점을 기준으로 회전을 하므로 B점에 대한 각운동량 보존된다(충격력이 B점에만 집중). 충돌 전 질량중심의 운동량은  B를 향하는 방향이므로 B점에 대한 각운동량에 기여가 없고, 충돌 후 질량중심의 속도가 $\omega \frac{\ell}{\sqrt{2}}$임을 고려하면, 충돌 전후 B점에 대한 각운동량 보존식은

$$ I \omega_0 + mv_\text{cm} \frac{\ell}{\sqrt{2}} \sin (0) = I \omega + \left(m \omega \frac{\ell}{\sqrt{2}} \right) \frac{\ell}{\sqrt{2}}$$ $$ \to~~ \omega = \frac{1}{4} \omega_0$$

3. 오르는 과정: B에 대해서 회전운동을 한다. 최고로 높이 올라간 위치에서 질량중심의 높이를 $h$라면, 역학적에너지 보존에서

$$ \Delta K =0 -\frac{1}{2} I_B \omega^2 = -\frac{1}{3} m\ell^2 \omega^2 = -\Delta U = -mg\ell \left( \frac{h}{\ell} - \frac{1}{2} \right)$$ $$ \to ~~ \frac{h}{\ell} = \frac{15 + \sqrt{2}}{32}$$

이때 상자가 바닥에 대해서 기울어진 각도를 $\theta$라면

$$ \sin ( 45^\circ+ \theta ) = \frac{h}{\ell/\sqrt{2}}~~\to ~~ \theta = 1.50^\circ$$