줄이 팽팽해진 직후 막대의 각속력은?

 

느슨한 줄로 천장에 매달린 막대(길이 $=\ell$)가 자유낙하를 하다가 속도가 $v_0$가 되었을 때 줄이 45도로 팽팽해졌다. 줄이 팽팽해진 직후 막대의 질량중심이 움직이는 속도와 회전 각속도는?

풀이:

줄이 팽팽해지는 순간 막대에는 위쪽 방향의 충격을 받는다. 이 충격으로 인해 질량중심의 속도($v_x$(:줄에 수직), $v_y$(:줄방향)에 변화가 생기고 또는 충격력에 의한 토크로 회전각속도($\omega$: 반시계방향)를 가진다. 줄이 묶인 지점을 축으로 순간회전하고, 이 축에 대한 impulsive torque가 없으므로(중력은 non-impulsive) 이 축에 대한 각운동량이 보존된다.

$$L_{\text{end}}=\text{const}:(m{v}_0)\frac{\ell }{2}=I\omega +(m{v}_x)\frac{\ell }{2}\cos \theta -(m{v}_y)\frac{\ell }{2}\sin \theta$$

충격력이 줄방향으로만 작용하므로 줄에 수직인 운동량 성분은 보존된다.

$$p_{\mathrm{\perp }}=\text{const}:m{v}_0\cos \theta =m{v}_x$$

줄이 팽팽해진 직후 줄에 연결된 끝은 순간적으로 회전운동을 하므로 줄방향 속도성분이 0이 되어야 한다.

$$v_{\parallel }=v_y+\omega \frac{\ell }{2}\sin \theta =0$$

미지수 $v_x,v_y,\omega$ 3개에 식이 3개 제공되므로 풀 수 있고, 

$$\begin{array}{c}{v}_x=v_0\cos \theta =\frac{v_0}{\sqrt{2}}\\ \omega \ell =\frac{6v_0{\sin }^2\theta }{1+3{\sin }^2\theta }=\frac{6}{5}{v}_0\\ v_y=-\omega \frac{\ell }{2}\sin \theta =-\frac{3v_0}{5\sqrt{2}}\end{array}$$