Geometry & Recognition

복소함수 $F(z)$의 inverse Z-transform은

$$Z^{-1}[F(z)]=\frac{1}{2\pi i}\oint F(z)z^{-n}dz(n=0,1,2,...)$$

로 정의되는데, $$F(z)={\left(\frac{z-1}{z}\right)}^{\alpha }(\alpha =\text{Real})$$인 경우에 대해 구하자. $z=0$과 $z=-1$이 $F(z)$의 branch point이므로 그림과 같은 dog bone 모양의 경로(반시계 방향)를 선택한다. 

그러면 $-\pi \le \arg (z),\arg (z+1)\le \pi$로 선택할 수 있다.  $z=0$과 $z=-1$을 감싸는 미소원에서 적분의 기여가 없고, $C_1$에서는 $z=x{e}^{-i\pi }$, $z+1=(1-x)e^{i0},(x:1\to 0)$이므로 

$${\int }_{C_1}={\int }_1^0{\left(\frac{1-x}{x}\right)}^{\alpha }{e}^{i\pi \alpha }{x}^{n-1}{e}^{-i\pi (n-1)}{e}^{-i\pi }dx$$$$=-e^{-i\pi (n-\alpha )}{\int }_0^1{x}^{n-1-\alpha }(1-x{)}^{\alpha }dx$$ 그리고 $C_2$에서는 $z=x{e}^{i\pi }$, $z+1=(1-x)e^{i\pi },(x:0\to 1)$이므로

$${\int }_{C_2}={\int }_0^1{\left(\frac{1-x}{x}\right)}^{\alpha }{e}^{-i\pi \alpha }{x}^{n-1}{e}^{i\pi (n-1)}{e}^{i\pi }dx$$$$=e^{i\pi (n-\alpha )}{\int }_0^1{x}^{n-\alpha -1}(1-x{)}^{\alpha }dx$$ 따라서

$$\frac{1}{2\pi i}\oint F(z)z^{-n}dz=\frac{\sin [\pi (n-\alpha )]}{\pi }{\int }_0^1{x}^{n-\alpha -1}(1-x{)}^{\alpha }dx$$그리고 Gamma 함수 $\mathrm{\Gamma }(z)$를 사용하면,

$$\frac{1}{2\pi i}\oint F(z)z^{-n}dz=\frac{\sin [\pi (n-\alpha )]}{\pi }\frac{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{\mathrm{\Gamma }(n+1)}$$로 쓸 수 있고, 또 다음 관계

$$\mathrm{\Gamma }(m)\mathrm{\Gamma }(1-m)=\frac{\pi }{\sin (\pi m)}$$를 이용하면

$$\frac{1}{2\pi i}\oint F(z)z^{-n}dz=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{\mathrm{\Gamma }(n+1)\mathrm{\Gamma }(\alpha -n+1)}=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ n\end{array}\right)$$