Geometry & Recognition

지상에서 포물선 운동을 하는 물체의 속도 벡터를  모두 모아 시작을 같게 만들면 속도 벡터의 끝이 그리는 자취(hodograph라 함)는 직선이 된다. 이는 속도의 차이가 가속도이고 지상에서 중력가속도는 크기와 방향이 일정하기 때문이다.

$$\vec {v}(t) =\vec {v}_0 - g\hat {j} t$$

태양계에서 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도상에서 움직인다. 그러면 행성의 각 지점에서 속도 벡터의 시작점을 한 지점에 모을 때 벡터의 끝점이 그리는 궤적은 무엇일까? 원 궤도를 그리면 속력이 일정하므로 당연히 원이 될 것으로 예상할 수 있지만,  타원 궤도에서는 속력은 에너지 보존을 고려하면 일정할 수 없다. 그런데 타원궤도를 그리는 경우에도 속도의 hodograph는 원궤도에서와 마찬가지로 벡터 공간에서 원으로 표현된다. 왜 그럴까?

행성이 받는 중력은 태양으로부터 거리의 제곱에 반비례하므로 운동방정식을 사용하면 속도의 변화량의 크기는

$$ \frac {d\vec {v}}{dt}= -\frac {GM}{r^2 }\hat {r} \quad \rightarrow\quad |\Delta \vec {v}| =\frac {GM}{r^2} \Delta t$$

임을 얻을 수 있다. 또한  태양의 중력이 중심력이므로 각운동량 보존(또는 Kepler의 제 2법칙)된다는 사실에서 마찬가지로 속도 변화량의 크기에 대한 식(각도 $\varphi$는 태양을 원점으로 하여 측정한다)

$$ L =m |\vec{r}\times \vec {v}| = m r^2 \frac {d\varphi}{dt}  \quad\rightarrow\quad \Delta\varphi =\frac {L}{mr^2}\Delta t$$을 얻을 수 있다. 두 식에서 $\Delta t / r^2$을 소거하면,

$$ |\Delta \vec{v}| = \frac {GMm}{L} \Delta \varphi$$이고, 각운동량 크기가 일정하므로 속도의 증가량의 크기가 회전각의 증가에 비례함을 보여준다. 이는 태양을 중심으로 행성 궤도를 일정한 각크기로 나눌 때 각 인접 지점과의 속도차의 크기가 항상 일정함을 의미한다. 기하학적으로는 일정한 각도차가 있는 궤도상의 각 지점에서 속도 벡터를 가져와서 시작을 (벡터 공간의) 한 지점에 모으면 벡터의 머리가 일정하게 변함을 의미하고, 이는 벡터의 머리가  반지름이 일정한($GMm/L$)인 원주상에 있을 때만 가능한 관계이다. (주의: 벡터 공간에서 벡터의 시작점이 각을 재는 원점이 아니다. 왜냐하면 원과 달리 타원에서는 위치와 속도 벡터는 서로 직교하지 않는다.) hodograph의 반지름은 근일점에서 속력 $v_P$와 원일점에서 속력 $v_A$의 절반임으로 표현되는데 $v_R = (v_A + v_P)/2 = \frac {GMm}{L}$임을 근일점, 원일점에서 역학적 에너지 보존과 각운동량 보존식을  이용해서 확인할 수 있다.

설명 동영상:

youtu.be/xdIjYBtnvZU

도르래에 걸친 줄의 한쪽 끝에 바나나가 매달려 있고 반대편에는 원숭이가 매달려 있다. 원숭이와 바나나의 무게가 같아 처음에는 둘 다 정지한 상태다. 만약 원숭이가 줄을 당겨 위로 올라가려는 시도를 한다면 (어떻게?: 고정된 줄을 타고 위로 올라가려 할 때 사람은 자신의 몸무게보다 더 큰 힘으로 줄을 아래로 당기면 그 반작용으로 위로 올라가는 것처럼) 원숭이의 위치는 (지상 기준) 어떻게 변할까?

그런데 이 상황은 줄의 끝(바나나 쪽)이 고정된 상황이 아니다.

예상 답: 

1. 원숭이는 위로 올라간다

2. 원숭이는 제자리에 머문다.

3. 원숭이는 아래로 내려간다. 

1번 선택 이유: 원숭이가 위로 올라가기 위해서는 몸무게보다 더 큰 힘으로 줄을 아래로 당겨야 한다. 그 반작용으로 원숭이는 위를 향하는 가속도를 얻는다. 바나나도 같은 크기의 힘을 위쪽으로 받으므로 동일한 가속도로 위로 올라간다.

1번 선택하지 않는 이유: 줄의 끝이 고정이 되었으면 자신의 몸무게보다 더 큰 힘으로 줄을 당길 수 있지만 줄의 끝이 고정이 안되어 있으면 자신의 몸무게 이상의 힘을 주면 줄이 아래로 내려가므로 그 반작용을 받을 수 없다(자신의 몸무게만큼만 주면 반대편에서 같은 무게의 바나나 때문에 줄은 아래로 내려가지 않는다).

2번 선택 이유: 1번을 선택하지 않는 이유처럼 자신의 몸무게 이상의 힘을 줄 수 없을 것이므로 정지할 수밖에 없다.

2번 선택하지 않는 이유: 줄을 당기면 반대편 바나나는 위로 오르게 된다. 원숭이는 제자리에 가만히 있고 바나나만 제자리에 있으면 각운동량 보존 법칙에 위배된다. 도르래를 기준으로 생각하면 원숭이의 무게와 바나나의 무게는 반대방향의 토크를 만들므로 전체 토크는 없다. 따라서 각운동량은 보존되어야 하므로 바나나만 따로 움직일 수 없다. 바나나가 위로 올라가면 원숭이도 위로 올라가야 각운동량이 보존된다.

3번 선택 이유: 원숭이가 줄을 아래로 당기면 바나나가 위로 가속을 할 것이고 따라서 원숭이가 잡고 있는 부분은 아래로 내려갈 수밖에 없다.

3번 선택하지 않는 이유: 원숭이가 아래로 떨어지기 위해서는 자신의 무게보다 더 큰 힘이 아래로 작용해야 한다(자신의 무게는 바나나의 무게와 상쇄된다). 그런데 자신은 위로 당기므로 결코 아래로 향하는 힘은 자신의 무게 이상의 힘은 만들어지지 않는다.

다음 상황과 비교해 보자: A가 줄을 당기면 A는 앞으로 갈까 그 자리에 있을까 아니면 뒤로 갈까?

빠르게 달리다가 돌부리에 걸리면 넘어진다. 그러나 속력이 작으면 잘 넘어지지 않는다. 턱에 걸려 넘어지기 위해서는 얼마나 빨리 달려야 하는가를 살펴보기 위해서 간단한 물리적인 상황을 만들자. 정육면체 모양의 물체가 매끄러운 바닥을 일정한 속도로 달리다가 작은 턱에 걸릴 때 넘어질 조건을 보면

1. 탄성충돌 여부를 확인할 수 없으므로 충돌 전후의 운동에너지 보존을 보장할 수 없다.
2. 턱이 외력을 주므로 물체의 운동량도 보존이 안된다.
3. 물체가 넘어질 때 턱을 기준으로 회전을 하므로 이 지점을 회전축으로 할 때 턱이 육면체에 주는 힘은 토크를 만들지 않는다.

따라서 충돌 직전-직후의 턱을 회전축으로 하는 각운동량은 보존이 된다.(수직 항력이나 중력도 작용하는데 이 두 힘은 impulsive 한 힘이 아니다. 충돌이 순간적으로 일어난다면, 유한한 크기의 힘이 만드는 충격량은 (충돌 시간->0 이므로) 힘 x충돌 시간->0 이므로 (각)운동량의 변화에 기여하지 않는다.) 물론, 넘어지는 과정에서는 각운동량은 바꾸지만 이 문제에서 필요한 것은 충돌 직후의 각운동량으로 이 값은 충돌 직전과 같고 이를 이용해서 충돌 직후의 운동에너지$(K_f = {L_f^2}/{2I})$를 계산할 수 있다)

$$ \text{충돌 직전 각운동량} (L_i = Mva) =\text {충돌 직후 각운동량} (L_f) = L \quad (w.r.t.\text {턱})$$

충돌 직후에는 턱을 회전축으로 회전을 한다. 턱(정육면체 한 변)에 대한 회전관성은 

$$I=\frac{8Ma^2 }{3} \quad \text{정육면체 변에 대한 회전관성}$$

넘어가는 과정에서는 중력만 일을 하므로 정육면체의 역학적 에너지는 보존이 된다. 따라서 충돌 직후 운동에너지(턱에 대한 회전에너지=$K$)가 무게중심이 가장 높이 올라갔을 때 위치에너지의 증가$(\Delta U = Mga (\sqrt{2}-1))$보다 더 크면 턱을 기준으로 완전하게 회전할 수 있다.

$$K=\frac{L^2 }{2I }= \frac{3M v^2}{16 }\ge Mga (\sqrt{2}-1)=\Delta U,\\ \therefore v \ge 4\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{3}ga} = 1.486\sqrt{ga}.$$