Geometry & Recognition

길이가 $\ell$인 무거운 줄의 양끝을 같은 높이로 고정했더니 그림처럼 아래로 $d$만큼 처지고 고정부위에서 수평과 $\theta ={45}^{\circ }$ 만큼 각을 이룬다. 한쪽 고정점에서 구슬이 줄을 타고 미끄러진다. 꼭짓점에 도달했을 때 가속도는 $g$의 몇 배인가? 단, 구슬의 무게 때문에 줄에 추가적인 변형이 생기지는 않는다.

1. $\frac{d}{\ell }$

2. $\frac{2d}{\ell }$

3. $\frac{3d}{\ell }$

4. $\frac{4d}{\ell }$

5. 알 수 없다.

오토바이를 타고 코너를 돌 때 안쪽으로 약간 기울이면 넘어지지 않고 안전하게 돌 수 있다는 사실은 라이더라면 누구나 경험으로 알고 있을 것이다.

1. 왜 기울여야 하는가?

2. 속력 $v$로 반지름 $R$인 코너를 돌 때 얼마나 기울여야 할까?

3. 도로면의 마찰계수는 얼마나 되어야 할까?

https://www.youtube.com/watch?v=ZpV2Bg-WX0w&t=244s

볼링공(반지름: $R$, 회전관성: $\frac{2}{5}m{R}^2$)이 굴러가다가 턱에 부딪치는 경우를 보자. 충돌이 비탄성적이라면 공은 턱(높이: $h$)을 기준으로 회전해서 턱 위로 올라갈 수 있다. 물론 부딪치기 직전 속도가 너무 작으면 오를 수 없고, 너무 크면 위로 튄다. 어떤 조건일 때 튀지 않고 턱 위로 올라갈 수 있을까?

1. 충돌 전후로 턱에 대한 각운동량이 보존되므로 충돌 직후 각속도 $\omega$는 충돌 전 속도($v_0$)를 알면 구할 수 있다.

$$I\left(\frac{v_0}{R}\right)+m{v}_0(R-h)=(I+m{R}^2)\omega$$

$$\to \omega =(1-\frac{5h}{7R})\frac{v_0}{R}$$

2. 역학적 에너지 보존을 이용하면 공이 턱에 완전히 올라서기 위해서는 충돌 직후 각속도 $\omega$가  일정한 크기 이상이어야 한다:

$$\frac{1}{2}(I+m{R}^2){\omega }^2\ge mgh$$

$$\to R\omega \ge \sqrt{\frac{10}{7}gh}$$

$$\text{or}{v}_0\ge \frac{1}{1-5h/7R}\sqrt{\frac{10}{7}gh}$$