Geometry & Recognition

길이가 $\ell$인 무거운 줄의 양끝을 같은 높이로 고정했더니 그림처럼 아래로 $d$만큼 처지고 고정부위에서 수평과 $\theta=45^\circ$ 만큼 각을 이룬다. 한쪽 고정점에서 구슬이 줄을 타고 미끄러진다. 꼭짓점에 도달했을 때 가속도는 $g$의 몇 배인가? 단, 구슬의 무게 때문에 줄에 추가적인 변형이 생기지는 않는다.

1. $\frac{d}{\ell}$

2. $\frac{2d}{\ell}$

3. $\frac{3d}{\ell}$

4. $\frac{4d}{\ell}$

5. 알 수 없다.

오토바이를 타고 코너를 돌 때 안쪽으로 약간 기울이면 넘어지지 않고 안전하게 돌 수 있다는 사실은 라이더라면 누구나 경험으로 알고 있을 것이다.

1. 왜 기울여야 하는가?

2. 속력 $v$로 반지름 $R$인 코너를 돌 때 얼마나 기울여야 할까?

3. 도로면의 마찰계수는 얼마나 되어야 할까?

https://www.youtube.com/watch?v=ZpV2Bg-WX0w&t=244s

볼링공(반지름: $R$, 회전관성: $\frac{2}{5} mR^2$)이 굴러가다가 턱에 부딪치는 경우를 보자. 충돌이 비탄성적이라면 공은 턱(높이: $h$)을 기준으로 회전해서 턱 위로 올라갈 수 있다. 물론 부딪치기 직전 속도가 너무 작으면 오를 수 없고, 너무 크면 위로 튄다. 어떤 조건일 때 튀지 않고 턱 위로 올라갈 수 있을까?

1. 충돌 전후로 턱에 대한 각운동량이 보존되므로 충돌 직후 각속도 $\omega$는 충돌 전 속도($v$)를 알면 구할 수 있다.

$$ \omega=\frac{7}{2}\left(  1 - \frac{5h}{7R}\right) \frac{v}{R}.$$

2. 역학적 에너지 보존을 이용하면 공이 턱에 완전히 올라서기 위해서는 충돌 직후 각속도 $\omega$가  일정한 크기 이상이어야 한다:

$$ \omega  \ge \sqrt{\frac{10gh}{7R^2}}.$$

3. 충돌 후에는 공의 질량중심은 턱에 대해서 회전을 한다. 이때 구심력 역학을 하는 힘은 턱이 주는 수직항력($F_N$)과 이 수직항력 방향의 중력 성분($mg \cos \theta$)의 차이이다. 너무 빨리 회전하면 공이 턱에 붙어서 돌지 못하고 튕길 수 있다. 튀지 않고 회전하려면 어떤 조건이 들어오는가? 충돌 직후의 운동방정식이

$$mg \cos \theta -F_N = mR \omega^2$$

이므로 공이 튀지 않고, 즉 턱과 접촉을 유지하면서($F_N \ge 0$)  올라가기 위해서는 턱의 높이가 

$$ \frac{h}{R} \ge \frac{7}{17} \approx 0.41$$

을 만족해야 한다.