Geometry & Recognition

속도 $v$로 달리는 고유길이가 $L$인 열차의 앞과 뒤에 동기화된 시계가 설치되어 있다. 열차 뒤 시계가 0시를 가리킬 때 뒤에서 앞을 향해 빛을 쏜다. 이 빛은 열차 앞쪽 시계가 $L/c$일 때 도착한다. 지상에서 이 실험을 지켜보는 관찰자 관점에서도 빛의 발사 때 뒤쪽 시계와 빛 도착 때 앞 시계의 눈금이 $L/c$만큼 차이가 남을 보여라.

힌트: 지상계에서 볼 때 열차 뒤쪽 시계가 0시를 가리킬 때 앞쪽 시계는 $-\frac {vL}{c^2}$를 가리킨다(rear clock ahead effect). 지상계에서 보면 열차의 길이가 $L/\gamma$로 줄어들어 보이므로, 뒤에서 발사된 빛이 앞에 도달하는데 걸리는 시간은 빛과 열차의 상대속도 $c-v$로 줄어든 열차 길이를 가는데 필요한 시간과 같다. 

$$ T = \frac{L/\gamma }{c- v}=\frac{L}{\gamma(c-v)}$$

또, 지상에서 볼 때 열차의 시계는 느리게 가므로 빛의 출발-도착에 진행된 (열차 시계의) 시간은

$$ T' = \frac{1}{\gamma} T = \frac {L}{\gamma^2 (c-v)}= \frac {L}{c} (1+ \beta)~~~~(\beta = v/c)$$

따라서 빛을 받았을 때 지상계에서 보이는 열차 앞 시계의 눈금은 

$$ T'_\text{front} = - \frac {vL}{c^2} + \frac {L}{c} (1+ \beta) =  \frac {L}{c}$$ 

$v=c/2$로 달리는 고유길이 $L$인 열차가 있다. 열차 뒤에서 공을 $c/3$로 (열차에 대한 상대속도) 앞쪽을 향해 던진다. 지상 관찰자에게는 공이 열차 앞쪽에 도달하는 데 걸리는 시간은 얼마인가? 공과 같이 움직이는 관찰자가 측정한 시간은 또 얼마일까?

지상관찰자: 지상에서 볼 때 공의 속도는 $u = \frac {\frac{c}{3}+\frac{c}{2}}{1+ \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}=\frac{5c}{7}$이다. 열차의 길이는 길이수축에 의해서 $L_g = {L}\times \sqrt{1- (\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}L}{2}$로 보인다. 지상에서 본 공의 상대속도가 $\frac{5c}{7}-\frac{c}{2}= \frac{3c}{14}$이므로 열차 뒤에서 앞까지 가는 데 걸리는 시간은

$$ t_g =\frac{ L_g }{ \frac{3c}{14}} = \frac{7L}{\sqrt{3} c}$$

공과 같이 움직이는 관찰자: 공이 볼 때 열차는 $\frac{c}{3}$로 다가온다. 따라서 공이 보는 열차의 길이는 길이수축에 의해서 $L_b = L \times\sqrt{1- (\frac{1}{3})^2}= \frac{2\sqrt{2}L}{3}$. 이를 이용하면 공의 출발-도착에 걸리는 시간은 

$$ t_b = \frac{L_b}{\frac{c}{3}}= \frac{2\sqrt{2}L}{c}$$ 또는, 공의 출발-도착이 공과 같이 움직이는 관찰차에게는 동일한 위치에서 일어나므로 지상계와 시간지연을 사용하면

$$ t_b = \frac{t_g }{ \gamma_g} = \frac{7L}{\sqrt{3}c} \times \sqrt{1- \left(\frac{5}{7}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}L}{c}$$

열차 관성계: 열차 내부에서 보면 열차 길이가 $L$이고 공의 속도가 $c/3$이므로 당연히 뒤에서 앞까지 공이 가는데 걸리는 시간은 $$t_t = \frac{L}{\frac{c}{3}}= \frac{3L}{c}$$

다른 방법으로는 공의 관성계와 시간지연 공식을 사용하면 공에 대해서 열차는 $c/3$으로 다가오므로 

$$t_t = t_b \times \frac{1}{\sqrt{1- (\frac{1}{3})^2}} = \frac{3L}{c}$$

고유길이가 $L$인 두 열차 A(설현), B(성소)가 각각 $0.8c$, $0.6c$의 일정한 속도로 나란히 달린다. B가 앞서서 달리고 그 뒤로 A가 달린다. 지상에 정지한 구하라가 볼 때 A가 B를 완전히 추월하는데 걸리는 시간은? 즉, 구하라 기준으로 A의 앞부분이 B의 뒷부분에 도달한 순간부터 A의 뒷부분이 B의 앞부분을 지나치는 순간까지 시간을 구하면?

구하라 기준: 구하라에게는 두 열차의 길이가 각각 $L_A = L \sqrt{ 1- 0.8^2 } = 0.6L$, $L_B = L\sqrt{1-0.6^2}=0.8L$로 보인다. 설현이 성소를 완전히 추월하는 데 걸리는 시간을 $T(구하라 시계)$라 하면, 설현이 이동한 거리는 $v_A T$다. 이 거리는 (성소가 움직인 거리)+(성소열차  길이)+(설현열차 길이)=$v_BT + L_B + L_A$와 같아야 한다. 따라서

$$ T = \frac{L_A+ L_B}{v_A - v_B} = \frac{1.4L}{0.2c} = \frac{7L}{c}$$

성소 기준: 설현은 성소에 대해서 상대적으로 (속도변환공식을 쓰면) $u= 5c/113$의 속도로 앞으로 움직이므로 성소가 보기에 설현열차의 길이는 길이수축에 의해 $L_A = \sqrt{1- (5/13)^2}= 12L/13$로 보인다. 설현은 자신의 열차길이와 성소 열차길이($L$)를 더한 거리 $12L/13+L=25L/13$를 통과해야 되고, $5c/13$의 속도로 움직이므로 성소기준으로 추월에 걸리는 시간은 $T_B= 5L/c$(성소시계)이다. 그러면 지상의 구하라가 잰 시간은 시간지연때문에 $T = T/\sqrt{1-0.6^2}= 25L/4c$일까? 성소가 보기에 설현열차가 성소 열차의 뒷부분을 스치는 사건과 설현열차의 뒷부분이 성소열차의 앞부분을 스치는 사건은 성소기준으로 같은 장소에서 일어나는 두 사건이 아니므로 시간지연공식을 적용하여 구하라가 재는 시간을 구할 수 없다. 성소의 관성계에서 성소열차 뒤와 설현열차 앞이 스치는 사건은 $(t'=0, x'=0)$이라면 설현열차의 뒷부분이 성소열차의 앞부분을 스치는 사건은 $(t'=5L/c, x'=L)$에 일어난다. 이제 구하라의 관성계와 Lorentz 변환을 이용하면

$$ \Delta t _\text{구하라}= \gamma \left(\Delta t' + \frac{v\Delta x'}{c^2} \right)= \frac{5}{4} \left(\frac{5L}{c} + \frac{(0.6c)(L)}{c^2} \right)= \frac{7L}{c} $$

이는 설현의 관성계를 기준으로 하는 경우도 같은 방법으로 사용하면 동일한 결과를 얻을 수 있다.