Geometry & Recognition

속도 $v$로 달리는 고유길이가 $L$인 열차의 앞과 뒤에 동기화된 시계가 설치되어 있다. 열차 뒤 시계가 0시를 가리킬 때 뒤에서 앞을 향해 빛을 쏜다. 이 빛은 열차 앞쪽 시계가 $L/c$일 때 도착한다. 지상에서 이 실험을 지켜보는 관찰자 관점에서도 빛의 발사 때 뒤쪽 시계와 빛 도착 때 앞 시계의 눈금이 $L/c$만큼 차이가 남을 보여라.

힌트: 지상계에서 볼 때 열차 뒤쪽 시계가 0시를 가리킬 때 앞쪽 시계는 $-\frac{vL}{c^2}$를 가리킨다(rear clock ahead effect). 지상계에서 보면 열차의 길이가 $L/\gamma$로 줄어들어 보이므로, 뒤에서 발사된 빛이 앞에 도달하는데 걸리는 시간은 빛과 열차의 상대속도 $c-v$로 줄어든 열차 길이를 가는데 필요한 시간과 같다. 

$$T=\frac{L/\gamma }{c-v}=\frac{L}{\gamma (c-v)}$$

또, 지상에서 볼 때 열차의 시계는 느리게 가므로 빛의 출발-도착에 진행된 (열차 시계의) 시간은

$$T^{\prime }=\frac{1}{\gamma }T=\frac{L}{{\gamma }^2(c-v)}=\frac{L}{c}(1+\beta )(\beta =v/c)$$

따라서 빛을 받았을 때 지상계에서 보이는 열차 앞 시계의 눈금은 

$$T_{\text{front}}^{\prime }=-\frac{vL}{c^2}+\frac{L}{c}(1+\beta )=\frac{L}{c}$$ 

$v=c/2$로 달리는 고유길이 $L$인 열차가 있다. 열차 뒤에서 공을 $c/3$로 (열차에 대한 상대속도) 앞쪽을 향해 던진다. 지상 관찰자에게는 공이 열차 앞쪽에 도달하는 데 걸리는 시간은 얼마인가? 공과 같이 움직이는 관찰자가 측정한 시간은 또 얼마일까?

지상관찰자: 지상에서 볼 때 공의 속도는 $u=\frac{\frac{c}{3}+\frac{c}{2}}{1+\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}=\frac{5c}{7}$이다. 열차의 길이는 길이수축에 의해서 $L_g=L\times \sqrt{1-(\frac{1}{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{3}L}{2}$로 보인다. 지상에서 본 공의 상대속도가 $\frac{5c}{7}-\frac{c}{2}=\frac{3c}{14}$이므로 열차 뒤에서 앞까지 가는 데 걸리는 시간은

$$t_g=\frac{L_g}{\frac{3c}{14}}=\frac{7L}{\sqrt{3}c}$$

공과 같이 움직이는 관찰자: 공이 볼 때 열차는 $\frac{c}{3}$로 다가온다. 따라서 공이 보는 열차의 길이는 길이수축에 의해서 $L_b=L\times \sqrt{1-(\frac{1}{3}{)}^2}=\frac{2\sqrt{2}L}{3}$. 이를 이용하면 공의 출발-도착에 걸리는 시간은 

$$t_b=\frac{L_b}{\frac{c}{3}}=\frac{2\sqrt{2}L}{c}$$ 또는, 공의 출발-도착이 공과 같이 움직이는 관찰차에게는 동일한 위치에서 일어나므로 지상계와 시간지연을 사용하면

$$t_b=\frac{t_g}{{\gamma }_g}=\frac{7L}{\sqrt{3}c}\times \sqrt{1-{\left(\frac{5}{7}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}L}{c}$$

열차 관성계: 열차 내부에서 보면 열차 길이가 $L$이고 공의 속도가 $c/3$이므로 당연히 뒤에서 앞까지 공이 가는데 걸리는 시간은 $$t_t=\frac{L}{\frac{c}{3}}=\frac{3L}{c}$$

다른 방법으로는 공의 관성계와 시간지연 공식을 사용하면 공에 대해서 열차는 $c/3$으로 다가오므로 

$$t_t=t_b\times \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{3}{)}^2}}=\frac{3L}{c}$$

고유길이가 $L$인 두 열차 A(설현), B(성소)가 각각 $0.8c$, $0.6c$의 일정한 속도로 나란히 달린다. B가 앞서서 달리고 그 뒤로 A가 달린다. 지상에 정지한 구하라가 볼 때 A가 B를 완전히 추월하는데 걸리는 시간은? 즉, 구하라 기준으로 A의 앞부분이 B의 뒷부분에 도달한 순간부터 A의 뒷부분이 B의 앞부분을 지나치는 순간까지 시간을 구하면?

구하라 기준: 구하라에게는 두 열차의 길이가 각각 $L_A=L\sqrt{1-{0.8}^2}=0.6L$, $L_B=L\sqrt{1-{0.6}^2}=0.8L$로 보인다. 설현이 성소를 완전히 추월하는 데 걸리는 시간을 $T(구하라시계)$라 하면, 설현이 이동한 거리는 $v_{A}T$다. 이 거리는 (성소가 움직인 거리)+(성소열차  길이)+(설현열차 길이)=$v_{B}T+L_B+L_A$와 같아야 한다. 따라서

$$T=\frac{L_A+L_B}{v_A-v_B}=\frac{1.4L}{0.2c}=\frac{7L}{c}$$

성소 기준: 설현은 성소에 대해서 상대적으로 (속도변환공식을 쓰면) $u=5c/113$의 속도로 앞으로 움직이므로 성소가 보기에 설현열차의 길이는 길이수축에 의해 $L_A=\sqrt{1-(5/13{)}^2}=12L/13$로 보인다. 설현은 자신의 열차길이와 성소 열차길이($L$)를 더한 거리 $12L/13+L=25L/13$를 통과해야 되고, $5c/13$의 속도로 움직이므로 성소기준으로 추월에 걸리는 시간은 $T_B=5L/c$(성소시계)이다. 그러면 지상의 구하라가 잰 시간은 시간지연때문에 $T=T/\sqrt{1-{0.6}^2}=25L/4c$일까? 성소가 보기에 설현열차가 성소 열차의 뒷부분을 스치는 사건과 설현열차의 뒷부분이 성소열차의 앞부분을 스치는 사건은 성소기준으로 같은 장소에서 일어나는 두 사건이 아니므로 시간지연공식을 적용하여 구하라가 재는 시간을 구할 수 없다. 성소의 관성계에서 성소열차 뒤와 설현열차 앞이 스치는 사건은 $(t^{\prime }=0,x^{\prime }=0)$이라면 설현열차의 뒷부분이 성소열차의 앞부분을 스치는 사건은 $(t^{\prime }=5L/c,x^{\prime }=L)$에 일어난다. 이제 구하라의 관성계와 Lorentz 변환을 이용하면

$$\mathrm{\Delta }{t}_{\text{구하라}}=\gamma (\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }+\frac{v\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }}{c^2})=\frac{5}{4}(\frac{5L}{c}+\frac{(0.6c)(L)}{c^2})=\frac{7L}{c}$$

이는 설현의 관성계를 기준으로 하는 경우도 같은 방법으로 사용하면 동일한 결과를 얻을 수 있다.