2차원 이미지의 기하학적인 변형 중에서 평행이동, 회전 및 전체적인 크기의 변화를 주는 변환이 similarity transformation이다. 이 변환은 두 직선이 이루는 각을 보존하고 길이 비를 유지한다. 따라서 similarity 변환 후 물체의 모양은 변환 전과 같은 형태를 가진다. 이 변환보다도 더 일반적인 2차원의 기하학적인 변환은 affine transformation이다. Affine 변환은 한쪽 방향으로의 밀림(sheer)도 허용한다. 평행한 두 직선은 affine 변환 후에도 여전히 평행하다.
Similarity transformation은 전체적인 크기를 바꾸는 scale parameter($s$) 1개와 회전각($θ$) 1개, 그리고 $x, y$축으로의 평행이동을 나타내는 parameter ($t_x$, $t_y$) 2 개를 합해서 총 4개가 있어야 한다. 이 parameter에 의해서 원본 이미지의 픽셀 $(x, y)$가 변환된 이미지의 픽셀 $(u, v)$에 대응한다고 하면, 이들 간의 관계는 다음식으로 주어진다. $$u = s\cos (θ) x - s \sin (θ) y + t_x;$$ $$v = s \sin (θ) y + s \cos (θ) y + t_y;$$ 따라서 원본 영상의 2점에 대응하는 정보만 주어지면 파라미터 $(s, θ, t_x, t_y)$를 유일하게 결정할 수 있다. $$(x_1, y_1) \rightarrow (u_1, v_1),\\ (x_2 , y_2) \rightarrow (u_2, v_2) $$그러나 많은 경우에는 기준점을 잡는데 에러 등을 고려하여서 일반적으로 원본 영상의 $N(\ge 2)$ 개의 점에 대응하는 정보를 주게 되는데, 이 경우에 변환 관계식은 overdetermined 되어서 해를 구할 수 없는 경우도 있다. 이 경우에는 최소자승법을 써서 변환점과 변환식에 의해서 의해서 주어지는 값의 차이를 최소화시키는 파라미터를 구해서 쓰면 된다.$$L = \sum_{i} | u_i - (s\cos(θ) x_i - s \sin(θ) y_i + t_x)|^2 + |v_i - (s \sin(θ) x_i + s \cos(θ) y_i + t_y)|^2, \\ (s, \theta, t_x, t_y) =\text {argmin}(L);$$이 식을 최소화시키는 파라미터는 $(a= s \cos(θ), b=s \sin(θ)$로 놓으면) $a, b, t_x, t_y$에 대해서 극값을 가질 조건에서 얻을 수 있다. $$\frac {\partial L}{\partial a}=0: \quad \sum_{i} (u_i - (ax_i - by_i + t_x))(-x_i) + (v_i - (bx_i + ay_i + t_y))(-y_i) = 0,\\ \frac {\partial L}{\partial b}=0:\quad \sum _{i} (u_i - (ax_i - by_i + t_x))(y_i) + (v_i - (bx_i + a y_i + t_y))(-x_i) = 0, \\ \frac {\partial L}{\partial t_x}=0: \quad \sum_{i} (u_i - (ax_i - by_i + t_x)) = 0, \\ \frac {\partial L}{\partial t_y}=0: \quad \sum_{i} (vi - (bx_i + ay_i + t_y)) = 0.$$ 따라서, $S_u = \sum_i u_i$, $S_v = \sum_i v_i$, $S_{ux} = \sum _i u_i x_ i$, $S_{uy} = \sum _i u_iy_i$, $S_{vx} = \sum_i v_i x_i$, $S_{vy} = \sum _i v_i y_i$, $S_x = \sum x_i$, $S_y=\sum _i y_i$, $S_{xx} = \sum_i x_i^2$, $S_{xy} = \sum_i x_iy_i$, $S_{yy}=\sum_i y_i^2$라고 하면,$$-S_{ux} + a S_{xx} + t_x S_x - S_{vy} + a S_{yy} + t_y S_y = 0; \\ S_{uy} + b S_{yy} - t_x S_y -S_{vx} + b S_{xx} + t_y S_x = 0;\\ S_u - a S_x + bS_y - t_x N = 0; \\ S_v - b S_x - aS_y - t_y N = 0;$$의 4개의 식을 얻으므로 $(a, b, t_x, t_y)$에 대한 1차 연립방정식을 풀면 된다.
$$\left [\begin {array}{cccc} S_x&-S_y&N&0\\S_y &S_x&0&N\\ S_{xx}+S_{yy}&0&S_x&S_y\\0 &S_{xx}+S_{yy}&-S_y&S_x\end {array} \right]\left [\begin {array}{c} a\\b\\t_x\\t_y \end {array}\right]=\left [\begin {array}{c} S_u\\S_v\\S_{ux} +S_{vy}\\S_{vx}-S_{uy}\end {array}\right]$$이 식의 답은 쉽게 구할 수 있고, 아래의 코드는 이것을 구현한 것이다. 물론, $N=2$개인 경우에는 파라미터는 유일하게 정해지고 이보다도 더 간단한 식으로 주어진다.
// dstPt = (S|T)(srcPt)
BOOL SimilarTransParams(std::vector<CPoint>& srcPts, std::vector<CPoint>& dstPts, double ST[4])
{
double Sx, Sy, Sxx, Syy;
double Su, Sv, Sxu, Sxv, Syu, Syv ;
Sx = Sy = Sxx = Syy = 0;
Su = Sv = Sxu = Sxv = Syu = Syv = 0;
for (int i = srcPts.size(); i-->0;) {
double x = srcPts[i].x, y = srcPts[i].y;
double u = dstPts[i].x, v = dstPts[i].y;
Sx += x; Sy += y;
Sxx += (x * x); Syy += (y * y);
Su += u; Sv += v;
Sxu += (x * u); Syv += (y * v);
}
double Z = Sxx + Syy, C1 = Sxu + Syv, C2 = Sxv - Syu;
double A[16], invA[16] ;
A[0] = Sx; A[1] = -Sy; A[2] = srcPts.size(); A[3] = 0;
A[4] = Sy; A[5] = Sx; A[6] = 0; A[7] = A[2];
A[8] = Z; A[9] = 0; A[10] = Sx; A[11] = Sy;
A[12] = 0; A[13] = Z; A[14] = -Sy; A[15] = Sx;
InvertMatrix4x4_d(A, invA) ;
double R[4] ;
R[0] = Su ; R[1] = Sv; R[2] = C1; R[3] = C2 ;
// ax = scale * cos(angle) ;
double ax = invA[0]*R[0] + invA[1]*R[1] + invA[2]*R[2] + invA[3]*R[3];
// ay = scale * sin(angle) ;
double ay = invA[4]*R[0] + invA[5]*R[1] + invA[6]*R[2] + invA[7]*R[3];
// x-translation ;
double tx = invA[8]*R[0] + invA[9]*R[1] + invA[10]*R[2] + invA[11]*R[3];
// y-translation ;
double ty = invA[12]*R[0] + invA[13]*R[1] + invA[14]*R[2] + invA[15]*R[3];
ST[0] = ax; ST[1] = ay; ST[2] = tx; ST[3] = ty;
return TRUE ;
};InvertMatrix4x4()는 4x4행렬의 역행렬을 구한다(OpenCV에서)
2개의 대응점만 주어진 경우 $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \rightarrow (u_1, v_1), (u_2, v_2)$;
bool SimilarTransParams(double x1, double y1, double x2, double y2,
double u1, double v1, double u2, double v2,
double ST[4]) {
double x21 = x2 - x1, y21 = y2 - y1;
double u21 = u2 - u1, v21 = v2 - v1;
double det = x21 * x21 + y21 * y21;
if (det == 0.) return false;
double a = (x21 * u21 + y21 * v21) / det ;
double b = (x21 * v21 - y21 * u21) / det ;
double tx = u1 - a * x1 + b * y1;
double ty = v1 - b * x1 - a * y1;
ST[0] = a; ST[1] = b; ST[2] = tx; ST[3] = ty;
return true;
};
얼굴인식용 training data set을 만들기 위해서 얼굴을 정렬시키는 데 사용한 예:
- 양 눈의 위치 변환: (70,93), (114, 84) --> (30,45), (100,45)로 변환( linear interpolation사용)
- 실제로 사용되는 변환은 정해진 dst영역으로 매핑하는 src영역을 찾아야 하므로, 역변환이 필요하다.
- 필요한 역변환은 src와 dst의 역할만 바꾸면 쉽게 구할 수 있다.
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