Why Cubic Splines?

주어진 데이터를 interpolation을 할 때 3차 spline을 많이 사용한다. 그럼 왜 3차 일까? 데이터를 연결하는 spline은 되도록이면  부드럽게 연결되어야 한다. 곡선이 부드럽게 그려지기 위해서는 급격한 꺾임이 없어야 하는데 얼마나 급격히 꺾이는가는 곡률에 비례하고, 곡률은 그 지점에서 함수의 두 번 미분값에 비례한다.(곡선의 곡률: https://kipl.tistory.com/105) 따라서 어떤 함수 $f(x)$가 구간 $[a,b]$에서 얼마나 부드럽게 연결되는가에 대한 척도는 곡선의 각부분에서 곡률의 크기의 제곱을 를 더한  다음 (음수가 아닌) 적분이 제공할 수 있다.

$$\kappa [f]={\int }_a^b(f^{″}(x){)}^{2}dx$$

$a\le x\le b$ 구간에서 균일하게 샘플링된 데이터가 있고 이들을 보간하는  3차 spline이 $S(x)=\{S_i(x)=a_i{x}^3+b_i{x}^2+c_{i}x+d_i\}$라고 하자. 또 두 번 이상 미분가능한 임의의 함수 $f(x)$도 주어진 샘플링 데이터를 지나가는 보간함수라고 하자. 이 경우 natural cubic spline이 주어진 sampling 데이터를 지나가면서 가장 부드럽게 이어지는 곡선임을 보일 수 있다.

$$\kappa [f]\ge \kappa [S]\mathrm{\forall }f$$

Spline $S$와 함수 $f$의 차이를 $h(x)=f(x)-S(x)$라 하면 각 node에서 $h(x_i)=0$이다. 이제 

$$\kappa [f]={\int }_a^b(h^{″}(x)-S^{″}(x){)}^2=\kappa [h]+\kappa [S]-2{\int }_a^b{h}^{″}(x)S^{″}(s)dx$$

그런데, cubic spline의 경우 각 node에서 2차 미분이 연속이므로  

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^b{h}^{″}(x)S^{″}(x)dx& =h^{\prime }(x)S^{″}(x){|}_a^b-{\int }_a^b{h}^{\prime }(x)S^{‴}(x)dx\\ & =h^{\prime }(b)S^{″}(b)-h^{\prime }(a)S^{″}(b)-\sum _i{\int }_{x_i}^{x_{i+1}}{h}^{\prime }(x)S_i^{‴}(x)dx\\ & =h^{\prime }(b)S^{″}(b)-h^{\prime }(a)S^{″}(a)-\sum _i{\int }_{x_i}^{x_{i+1}}{h}^{\prime }(x)(6a_i)dx\\ & =h^{\prime }(b)S^{″}(b)-h^{\prime }(a)S^{″}(a)-6\sum _i{a}_i[h(x_{i+1})-h(x_i)]\\ & =h^{\prime }(b)S^{″}(b)-h^{\prime }(a)S^{″}(a)\end{array}$$  $$\therefore \kappa [f]=\kappa [h]+\kappa [S]+h^{\prime }(b)S^{″}(b)-h^{\prime }(a)S^{″}(a)$$

임의의 곡선 $h$에 대해서 $\kappa [h]\ge 0$이므로, 양끝에서 2차 미분이 $S^{″}(a)=S^{″}(b)=0$으로 고정된 natural cubic spline은  

$$\kappa [f]\ge \kappa [S]$$

이므로 주어진 샘플링 데이터를 곡률척도가 가장 작게 즉, 가장 부드럽게 보간하는 곡선임을 알 수 있다.