Bezier curves

주어진 control point로 만들어지는 Bezier 곡선을 계산할 때 De Casteljas 알고리즘을 이용하여 계산한다. 이 경우 control points을 백업하는 과정이 필요하다. 여기서는 직접적으로 Bernstein 함수를 계산하여 Bezier 곡선을 구하자. 우선 control point가 ${\bf Q}_i$일 때 $n$차 Bezier 곡선을 Bernstein 다항식을 써서 표현하면

$$ {\bf B}(t) = \sum _{k=0}^n b_{k, n}(t) {\bf Q}_k \\ b_{k, n}(t) = \begin{pmatrix} n \\k \end{pmatrix} t^k (1-t)^{n-k}$$

이므로 이항계수의 계산이 요구된다. 

$$ \begin{pmatrix} n \\k \end{pmatrix} = \frac{ n!}{k! (n-k)!} $$

이항계수는 미리 계산된 lookup table을 이용하는 경우가 더 편리할 수 있다: https://kipl.tistory.com/575

// n = degree of a Bezier curve == Q.size()-1;
double Bezier(const int n, const std::vector<double>& Q, const double t) { 
    double b = 0;
    double tk = 1; 
    double onetk = pow(1-t, double(n)); 
    for (int k = 0; k <= n; k++) { 
        double blend = tk * onetk;   // bernstein polynomial; 
        // for the next stage;
        tk *= t;              
        onetk /= (1-t);     
        // multiply binomial coefficient;
        int nf = n;           // n! 계산;
        int kf = k;           // k! 계산; 
        int nkf = n-k;        // (n-k)! 계산;
        while (nf >= 1) {
            blend *= nf;      // multiply by n!
            nf--;
            if (kf > 1) {     // divide by k!
                blend /= kf; 
                kf--; 
            } 
            if (nkf > 1) {    // divide by (n-k)!
                blend /= nkf; 
                nkf--; 
            } 
        } 
        b += Q[k] * blend; 
    } 
    return b; 
}