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배수 파이프에서 물의 속력은?

Physics/유체역학 2022. 2. 14. 21:11

물탱크의 바닥에 아래로 향하는 배수 파이프를 통해서 물이 빠져나간다. 파이프 내에서 물이 움직이는 속력은?

설현: 연속 방정식 때문에 파이프를 내려가는 물이 내려가는 속력은 일정하다.

수지: 물의 중력 위치에너지가 운동에너지로 전환되므로 내려갈수록 빨라진다.

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무게가 $W <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>W</mi></math>$ 인 원통형 물체의 절반이 잠긴 채 물에 떠 있다. 물체를 물에서 완전히 빼내기 위해 해주어야 할 일은? 단, 물이 담긴 용기의 단면적은 물체의 단면적의 $3 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3</mn></math>$ 배이고 물체의 높이는 $H <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>H</mi></math>$ 다.

1. $W H / 6 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>W</mi><mi>H</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>6</mn></math>$

2. $W H / 4 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>W</mi><mi>H</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>4</mn></math>$

3. $W H / 3 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>W</mi><mi>H</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>3</mn></math>$

4. $W H / 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>W</mi><mi>H</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></math>$

5. $W H <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>W</mi><mi>H</mi></math>$

물의 밀도를 $ρ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ρ</mi></math>$ , 물체의 단면적을 $A <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>$ 라면 처음 떠 있을 조건에서 $ρ g A H / 2 = W <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ρ</mi><mi>g</mi><mi>A</mi><mi>H</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn><mo>=</mo><mi>W</mi></math>$ 이다. 물체가 $x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>$ 만큼 올라가서 수면이 $y <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi></math>$ 만큼 내려간다면, 단면적의 차이가 2배(물이 채워지는 부분)이므로 $y = x / 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></math>$ 임을 알 수 있다. 따라서 물체가 잠겨있는 깊이는 $H / 2 - (x + y) = H / 2 - 3 x / 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>H</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>H</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></math>$ 이고, 이에 따른 부력은 $Fb=ρgA(H−3x)/2=WH(H−3x)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>F</mi><mi>b</mi></msub><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mi>g</mi><mi>A</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>H</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn><mo>=</mo><mfrac><mi>W</mi><mi>H</mi></mfrac><mo stretchy="false">(</mo><mi>H</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 이다. 물체를 들어올리는 데 필요한 외력은 $F=mg−Fb=WH3x<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mo>=</mo><mi>m</mi><mi>g</mi><mo>−</mo><msub><mi>F</mi><mi>b</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mi>W</mi><mi>H</mi></mfrac><mn>3</mn><mi>x</mi></math>$ . $x = H / 3 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>H</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>3</mn></math>$ 일 때 물체가 물에서 완전히 빠져나오므로 필요한 최소의 일은

$Work=∫H/30Fdx=WH6<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtext>Work</mtext><mo>=</mo><msubsup><mo data-mjx-texclass="OP">∫</mo><mn>0</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>H</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mi>F</mi><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>W</mi><mi>H</mi></mrow><mn>6</mn></mfrac></math>$

임을 알 수 있다.

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모래가 섞인 얼음이 녹을 때 수면의 높이는?

Physics/유체역학 2022. 1. 23. 18:16

모래가 섞인 얼음을 물이 담긴 컵에 넣었더니 바닥에 가라 앉았다. 얼음이 다 녹으면 수면의 높이는?

올라간다.
변함없다.
내려간다.
모래의 양에 따라 다르다.

참고: https://kipl.tistory.com/120

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