Geometry & Recognition

구슬이 운동을 시작하면 원운동을 하는데, 처음에는 수직항력과 중력의 중심성분이 구심력 역할을 한다. 수직항력은 처음에는 링 중심에서 나가는 방향으로 작용하지만 $\cos \theta =2/3$인 지점에 그 값이 0이 되고(구슬이 링에 꿰어져 있지 않다면 링에서 떨어진다), 그 이후에는 구슬을 계속 원운동 하게 만들기 위해서는 링 중심방향으로 작용해야 한다. 

$$\text{circular motion:}N+mg\cos \theta =\frac{m{v}^2}{R}(0<\cos \theta <\frac{2}{3})$$

이고 이때 구슬의 속력은 역학적 에너지 보존에 의해서 

$$v^2=2Rg(1-\cos \theta )$$이므로

$$N=mg(2-3\cos \theta )$$

이 수직항력의 반작용이 링에 작용하는데 수평성분은 양쪽 구슬에서 상쇄되므로 수직방향이 성분이 남는다. 이 수직방향 성분이 링의 무게보다 커지면 링은 위로 솟구칠 수 있다. 

$$R_y=2N\cos \theta =2mg(2\cos \theta -3{\cos }^2\theta )\ge \frac{2}{3}mg$$

링에 작용하는 힘이 장력, 중력 그리고 $R_y$인데, $\text{min}(R_y)>Mg$이면 장력이 없더라도 링은 위로 가속할 수 있다.

$$m>\frac{3}{2}M$$

마찰이 없으므로 실린더의 회전운동은 없고, 위 실린더는 아래로 내려가는 운동을, 아래 실린더는 수평운동만 한다.  두 실린더가 접촉을 하는 동안 위쪽 실린더의 중심 높이를 $y$, 내려가는 속력은 $v_y$, 아래쪽 실린더의 수평위치를 $x$, 수평속도를 $v_x$, 그리고 두 실린더의 중심을 연결하는 선분이 수평과 이루는 각을 $\theta$라면

$$x=R+2R\cos \theta ,y=R+2R\sin \theta$$

$$v_x=-2R\sin \theta \frac{d\theta }{dt},v_y=2R\cos \theta \frac{d\theta }{dt}$$
역학적에너지 보존을 이용하면 

$$\frac{1}{2}M(v_x^2+v_y^2)=2MgR(1-\sin \theta )$$

$$\to v_x^2+v_y^2=4gR(1-\sin \theta )$$

$$\to {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=\frac{g}{R}(1-\sin \theta )$$

$$\therefore v_x^2=4Rg({\sin }^2\theta -{\sin }^3\theta )$$

따라서

$$\frac{d{v}_x^2}{dt}=4Rg\cos \theta (2\sin \theta -3{\sin }^2\theta )\frac{d\theta }{dt}=2v_x\frac{d{v}_x}{dt}$$

$$\to \frac{d{v}_x}{dt}=g\cos \theta (3\sin \theta -2)$$이므로 $$\sin \theta =\frac{2}{3}$$

일 때 최댓값에 도달한다.

$$(v_x{)}_{\text{max}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}\sqrt{Rg}$$

아래쪽 실린더는 위쪽 실린더가 접촉면에서 누르는 힘($\overrightarrow{R}$)의 수평성분에 의해 가속이 되는데 $\theta ={\sin }^{-1}(2/3)$에서 두 실린더의 접촉이 없어지므로 수평성분의 변화가 생기지 않는다.

$$R_x=M\frac{d{v}_x}{dt}=Mg\cos \theta (3\sin \theta -2)$$

윗쪽 실린더에 대해서도 확인하면,

$$v_y^2=4Rg{\cos }^2\theta (1-\sin \theta )$$

$$M\frac{d{v}_y}{dt}=-Mg+R_y$$

$$\to R_y=Mg+M\frac{d{v}_y}{dt}=Mg\sin \theta (3\sin \theta -2)$$어서 $R_y$도 0이 됨을 알 수 있다.

체인의 선밀도를 $\lambda$, 공중에 떠있는 체인의 길이를 각각 ${\ell }_L$, ${\ell }_R$이라면 오른쪽 부분에 작용하는 외력은 위쪽에서 작용하는 장력($\uparrow$)과 자체 무게($\downarrow$)가 있다. 이 둘의 합력이 왼쪽 부분의 운동량 변화를 일으키므로

$$T-\lambda {\ell }_{R}g=\frac{d{P}_R}{dt}=\lambda {\ell }_R\frac{dv}{dt}+\lambda v^2$$여기서 $\lambda v^2$은 책상 위에 정지한 체인을 속도 $v$로 변환시키는데 필요한 충격력이다. 왼쪽 부분에 작용하는 외력은 자체 중력($\downarrow$)과 위쪽으로 당기는 장력($\uparrow$), 그리고 바닥이 작용하는 충격력($\uparrow$)이 작용하므로 $$\lambda {\ell }_{L}g-T-f_{\text{floor}}=\frac{d{P}_L}{dt}=\lambda {\ell }_L\frac{dv}{dt}-\lambda v^2$$ $f_{\text{floor}}$는 체인이 바닥에 닿을 때 정지시키기 위해서 바닥이 작용하는 충격력으로 $f_{\text{floor}}=\lambda v^2$이다. 따라서

$$\lambda g{\ell }_L-T=\lambda {\ell }_L\frac{dv}{dt}$$두 식을 더하면 (${\ell }_L+{\ell }_R=\ell$)

$$\frac{dv}{dt}+\frac{1}{\ell }{v}^2=\frac{gh}{\ell }$$ 이 식의 해는 $$v(t)=\sqrt{gh}\tanh \left(\frac{\sqrt{gh}}{\ell }t\right)$$