Geometry & Recognition

줄이 팽팽해지는 순간 막대에는 위쪽 방향의 충격을 받는다. 이 충격으로 인해 질량중심의 속도($v_x$(:줄에 수직), $v_y$(:줄방향)에 변화가 생기고 또는 충격력에 의한 토크로 회전각속도($\omega$: 반시계방향)를 가진다. 줄이 묶인 지점을 축으로 순간회전하고, 이 축에 대한 impulsive torque가 없으므로(중력은 non-impulsive) 이 축에 대한 각운동량이 보존된다.

$$L_{\text{end}}=\text{const}:(m{v}_0)\frac{\ell }{2}=I\omega +(m{v}_x)\frac{\ell }{2}\cos \theta -(m{v}_y)\frac{\ell }{2}\sin \theta$$

충격력이 줄방향으로만 작용하므로 줄에 수직인 운동량 성분은 보존된다.

$$p_{\mathrm{\perp }}=\text{const}:m{v}_0\cos \theta =m{v}_x$$

줄이 팽팽해진 직후 줄에 연결된 끝은 순간적으로 회전운동을 하므로 줄방향 속도성분이 0이 되어야 한다.

$$v_{\parallel }=v_y+\omega \frac{\ell }{2}\sin \theta =0$$

미지수 $v_x,v_y,\omega$ 3개에 식이 3개 제공되므로 풀 수 있고, 

$$\begin{array}{c}{v}_x=v_0\cos \theta =\frac{v_0}{\sqrt{2}}\\ \omega \ell =\frac{6v_0{\sin }^2\theta }{1+3{\sin }^2\theta }=\frac{6}{5}{v}_0\\ v_y=-\omega \frac{\ell }{2}\sin \theta =-\frac{3v_0}{5\sqrt{2}}\end{array}$$

붙잡는 과정에서 충격량 $\overrightarrow{J}=J\hat{i}$이 동전에 전달된다(전제: 붙잡는 순간 동전면이 $y-z$평면에 있고, 위에서 내려다 볼 때 반시계방향으로 회전한다. 따라서 $\overrightarrow{\omega }=\omega \hat{k}$). 붙잡힌 직후 운동량 변화는

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{P}=J\hat{i}$$  충격량은 각운동량도 변화시키므로 (붙잡힌 지점: ${\overrightarrow{r}}_P=R\sin \theta \hat{j}+R\cos \theta \hat{k}$)

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{L}={\overrightarrow{r}}_P\times \mathrm{\Delta }\overrightarrow{P}=-JR\sin \theta \hat{k}+JR\cos \theta \hat{j}$$

따라서 붙잡힌 직후 동전의 각운동량은

$${\overrightarrow{L}}_f=I_z\omega \hat{k}-JR\sin \theta \hat{k}+JR\cos \theta \hat{j}$$

붙잡히 지점은 정지하므로

$${\overrightarrow{v}}_f={\overrightarrow{v}}_{\text{cm}}+{\overrightarrow{\omega }}_f\times {\overrightarrow{r}}_P=0$$

$$\frac{J}{M}\hat{i}-\omega R\sin \theta \hat{i}+\frac{1}{I_z}(JR\sin \theta )R\sin \theta \hat{i}+\frac{1}{I_y}(JR\cos \theta )R\cos \theta \hat{i}=0$$

그런데 $I_y=I_z=\frac{1}{4}M{R}^2$이므로

$$J=\frac{M}{5}\omega R\sin \theta$$ 회전축에서 먼 지점을 붙잡을수록 더 큰 충격이 필요함을 알 수 있다. 붙잡히기 직전 그 지점의 접선 속력이 

$$v_i=\omega R\sin \theta \to J=\frac{M}{5}{v}_i$$

이므로 붙잡힌 직후 질량중심이 움직이는 속력은

$$v_{f,\text{cm}}=\frac{J}{M}=\frac{v_i}{5}$$

바위를 치는 지점이 막대의 질량중심을 넘지 않으면 질량중심의 가속도와 손잡이 부분에서 회전에 의한 접선 가속도가 같은 방향이어서 항상 힘을 받는다. 막대가 바위를 치는 과정에서 바위는 막대에게 힘 $F_{\text{rock}}$을 주고 또 손에서 힘($F_{\text{hand}}$)을 줄 수 있다. 이 두 힘이 막대의 질량중심을 가속시키고, 또한 질량중심에 대해서 회전운동을 만든다. 손이 잡고 있는 끝부분은 질량중심과 같은 가속도 성분($a_{\text{cm}}$)과 회전에 의한 반대방향의 접선가속도($a_t=\frac{\ell }{2}\alpha$)를 가지게 된다. 방향이 반대인 이 두 가속도의 벡터합이 손을 잡고 있는 끝부분의 알짜 가속도가 되고, 끝부분이 움직이지 않으면 손에 충격을 주게 된다. 따라서 손이 충격을 받지 않기 위해서는 이 가속도가 0이 되도록 바위에 부딪히는 위치를 조절해야 한다. 손에서 부딪히는 지점까지 거리를 $x$라면, 막대의 운동방정식은

$$\begin{array}{rl}& \text{translation:}m{a}_{\text{cm}}=F_{\text{rock}}+F_{\text{hand}},\\ & \text{rotation:}I\alpha =F_{\text{rock}}(x-\frac{\ell }{2})-F_{\text{hand}}\frac{\ell }{2}\end{array}$$

손잡이 부분의 가속도가 0이 되어야 하므로

$$\begin{array}{rl}{a}_{\text{end}}& =a_{\text{cm}}-\frac{\ell }{2}\alpha \\ & =\frac{F_{\text{rock}}+F_{\text{hand}}}{m}-\frac{\ell }{2I}[F_{\text{rock}}(x-\frac{\ell }{2})-F_{\text{hand}}\frac{\ell }{2}]\\ & =0\\ \to & \frac{F_{\text{hand}}}{F_{\text{rock}}}=\frac{m{\ell }^2(\frac{x}{\ell }-\frac{1}{2}-\frac{2I}{m{\ell }^2})}{1+\frac{m{\ell }^2}{4I}}\end{array}$$

손이 작용하는 힘이 0이기 위해서는

$$\frac{x}{\ell }=\frac{1}{2}+\frac{2I}{m{\ell }^2}$$을 만족시켜야 한다. 막대의 회전관성이 $I=m{\ell }^2/12$이므로

$$x=\frac{2}{3}\ell$$

즉 막대 끝을 잡고 내리칠 때 막대 길이의 $2/3$ 지점을 치면 손이 받은 충격이 없게 된다.