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물체가 반구와 다시 접촉을 안할 조건?

Physics/역학 2025. 2. 2. 14:32

매우 미끄러운 반구 꼭대기에 올려진 물체가 있다. 이 물체에 수평방향의 충격을 받아 속도 $v 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub></math>$ 로 움직인다. 이후 물체가 반구에 접촉하기 않으려면 얼마의 속도로 출발을 해야 하는가?

풀이:

물체가 반구에 접촉하지 않으면 물체에 작용하는 유일한 힘은 중력뿐이고, 이 경우 물체는 출발점을 꼭짓점으로 하는 위로 볼록인 포물선을 그린다. $y=−g2v20x2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mi>g</mi><mrow><mn>2</mn><msubsup><mi>v</mi><mn>0</mn><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></math>$ 따라서 이 포물선이 반구와 만나지 않을 조건을 구하면 된다. 포물선의 휘어짐 정도가 원의 휘어짐 정도보다 작으면 만나지 않으므로 두 곡선의 곡률반지름을 비교하면 쉽게 해결할 수 있다.

$radius of curvature=|(1+y′2)3/2y″|=(1+(gx/v20)2)3/2g/v20≥R ∀x>0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtext>radius of curvature</mtext><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mfrac><msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mrow><mo data-mjx-alternate="1" data-mjx-pseudoscript="true">′</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>y</mi><mo data-mjx-alternate="1">″</mo></msup></mfrac><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>g</mi><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><msubsup><mi>v</mi><mn>0</mn><mn>2</mn></msubsup><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mi>g</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><msubsup><mi>v</mi><mn>0</mn><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo>≥</mo><mi>R</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">∀</mi><mi>x</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math>$

$\to v 20 \geq g R <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mo accent="false" stretchy="false">\to</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msubsup><mi>v</mi><mn>0</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>\geq</mo><mi>g</mi><mi>R</mi></math>$

물론 운동방정식을 풀어서도 해결할 수 있다.

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바닥에서 운동에너지가 가장 큰 것은?

Physics/역학 2025. 2. 1. 09:46

경사면과 물체 사이의 마찰계수가 $μ k = μ s = 0.2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>μ</mi><mi>k</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>μ</mi><mi>s</mi></msub><mo>=</mo><mn>0.2</mn></math>$ 인 경사면 높은 곳에 물체를 놓아 내려가게 한다. 바닥에 도착했을 때 운동에너지가 가장 큰 물체는? 단, $θ = 20 \circ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>θ</mi><mo>=</mo><msup><mn>20</mn><mo>\circ</mo></msup></math>$ 이고 물체의 질량은 모두 같다.

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공은 얼마나 높이 올라갈 수 있는가?

Physics/역학 2025. 1. 31. 21:33

그림에 그려진 모양의 경사면을 미끄러짐 없이 굴러내려 가던 공이 수평면 끝에서 위로 수직하게 튕겨 올라간다. 공이 공중으로 올라간 최고 높이는 (A점 기준)?

$H <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>H</mi></math>$
$2 H / 5 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mi>H</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>5</mn></math>$
$5 H / 7 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>5</mn><mi>H</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>7</mn></math>$
$7 H / 5 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>7</mn><mi>H</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>5</mn></math>$

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