Geometry & Recognition

그림과 같이 3 물체가 줄(전체 길이=$2L$)로 연결되어 있다. 물체 $M$에 충격을 주어 줄에 수직한 방향으로 $V$의 속도로 움직이기 시작한다. 질량 $m$인 두 물체가 충돌하기 직전 줄에 걸리는 장력은?

힌트: 외력이 없으므로 운동량이 보존된다. 충돌 직전 두 물체의 수직 속도 성분 $v_{\mathrm{\perp }}$은 같아야 하고, 수평성분의 크기($v_{||}$)도 같아야 한다. 운동량 보존에 의해서 

$$y:MV=(M+2m)v_{\mathrm{\perp }}\to v_{\mathrm{\perp }}=\frac{1}{1+2m/M}V$$

역학적에너지 보존에 의해서

$$\frac{1}{2}M{V}^2=\frac{1}{2}M{v}_{\mathrm{\perp }}^2+m(v_{\mathrm{\perp }}^2+v_{||}^2)\to v_{||}=\sqrt{\frac{1}{1+2m/M}}V$$

충돌 직전 $M$의 가속도를 $a$(아랫방향), 줄의 장력을 $T$라면 

$$a=\frac{2T}{M}$$

이고 $M$과 같이 움직이는 관찰자(비관성계) 입장에서 두 질량 $m$은 충돌직전 순간적으로 원운동을 한다. 이 때 작용하는 구심력은 장력과 관성력(위쪽방향)의 합이다.

$$T+ma=\frac{m{v}_{||}^2}{L}\to T=\frac{m}{(1+2m/M{)}^2}\frac{V^2}{L}$$ 

그림과 같이 두 줄로 연결된 막대가 있다. 막대가 운동을 시작하는 순간 두 줄에 걸리는 장력은?

힌트: 막대의 질량중심은 원운동을 하는데 출발속도가 없으므로 처음 가속도는 접선가속도만 존재한다. 수평방향과 수직방향 운동방정식을 쓰면

$$\sum F_x=(T_L+T_R)\cos \theta =ma\sin \theta$$

$$\sum F_y=mg-(T_L+T_R)\sin \theta =ma\cos \theta$$

이므로 이 두식을 풀면

$$a=g\cos \theta$$

$T_L$과 $T_R$이 합으로만 표현되어 있으므로 추가적인 조건이 있어야 한다. 이는 막대가 질량중심에 대한 회전운동이 0이므로 질량중심에 대한 토크가 0이어야 함을 의미한다. 따라서

$$T_L\sin \theta :T_R\sin \theta =2:1\to T_L=2T_R$$

$$T_R=\frac{1}{3}g\sin \theta$$

달표면의 물질은 달의 인력뿐만 아니라 지구의 인력도 받는다(물론 태양의 인력도 받지만 무시하자). 따라서 달이 지구에 너무 가까운 궤도에 생성되었다면 달표면의 물질에 작용하는 지구중력이 너무 세져서 달이 온전히 궤도운동을 하지 못하고 부서졌을 것이다. 달이 부서지지 않고 지구를 돌 수 있는 궤도 반지름의 최솟값은? 달은 변형이 될 수 있지만 간단하게 강체로 보자.

풀이: 달의 공전각속도는 $\omega$라고 하면 지구중력이 구심력 역할을 한다. 달 중심에서 지구 중심까지의 거리를 $d$라면 달의 공전각속도는

$${\omega }^{2}d=\frac{G{M}_E}{d^2}$$

지구를 바로 보는 쪽 달 표면의 입자는 지구 중력(지구 중심 방향), 달의 중력(달 중심 방향)+ 달 표면이 지탱하는 수직항력(지구 중심 방향)의 합력을 구심력으로 하여 달과 더블어 공전을 한다.

$${\omega }^2(d-R_m)=\frac{G{M}_E}{(d-R_m{)}^2}-\frac{G{M}_m}{R_m^2}+N$$  

여기서 $d\gg R_m$이므로 우측 첫 항에 대해 테일러 전개를 하면

$$\frac{G{M}_E}{d^3}(d-R_m)\approx \frac{G{M}_E}{d^2}+2\frac{G{M}_E{R}_m}{d^3}-\frac{G{M}_m}{R_m^2}+N$$

$$\to N=-3\frac{G{M}_E{R}_m}{d^3}+\frac{G{M}_m}{R_m^2}$$

입자가 달 표면에 붙어 있을 조건이 $N\ge 0$이므로 

$$d\ge {\left(3\frac{M_E}{M_m}\right)}^{1/3}{R}_m$$

등호는 달 표면의 입자가 달과 지구의 중력만 받고 달과 함께 공전할 수 있는 최소 거리를 의미한다. 이보다 거리가 더 줄어들면 지구의 중력이 달의 중력보다 커져서 달 표면의 입자는 달에서 작용하는 다른 힘의 작용이 없이는 달과 같이 공전할 수 없게 되어 달 표면에서 떨어지게 된다.

최소거리를 달과 지구의 밀도로 표현하면 $M_E/M_m=({\rho }_E/{\rho }_m)(R_E/R_M{)}^3$이므로

$$d_{\text{min}}=\sqrt[3]{3}\times R_E{\left(\frac{{\rho }_E}{{\rho }_m}\right)}^{1/3}\approx 1.45\times R_E{\left(\frac{{\rho }_E}{{\rho }_m}\right)}^{1/3}$$

달이 완전한 강체가 아니므로 지구쪽으로 길게 늘어질 것이므로 이 한계는 더 커질 것으로 예상할 수 있다는 데, 이를 고려하면

$$d_{\text{min}}\approx 2.45\times R_E{\left(\frac{{\rho }_E}{{\rho }_m}\right)}^{1/3}$$로 계산된다. 이 거리의 한계를 Roche limit이라고 부르고 지구-달의 경우는 $$d_{\text{Roche}}\approx 3.445\times R_E$$다. 실제 지구-달 사이거리는 $60R_E$ 정도이므로 달에서 부스러기가 지구로 떨어질 염려는 없다.