Geometry & Recognition

사람에 작용하는 힘은 자신의 무게(무게 중심의 높이 = $h$)와 양발(간격 = $d$)에 작용하는 수직항력과 차와 같이 움직이게 하는데 필요한 마찰력이 있다. (그냥 서있어서 손잡이에 의한 힘은 무시한다) 사람의 자유물체도는 아래와 같다:

미끄러지지 않는다고 가정하면 사람의 질량중심은 버스와 같은 가속도로 움직인다. 질량중심의 운동 방정식과 질량중심에 대한 회전 운동 방정식을 고려하면(질량중심에 대해서 $f_1$, $f_2$, $N_2$는 반시계 방향으로 회전시키려하고 $N_1$은 시계 방향으로 회전시키려 한다. 넘어지지 않은 상황에서는 이들 토크 사이에 균형이 있어야 한다)

$$\sum F_x = f_1 + f_2 = Ma,$$

$$ \sum F_y = N_1 + N_2 - Mg = 0,$$

$$\sum \tau_\text{cm} = (f_1 + f_2 ) h + (N_2 - N_1 ) \frac{d}{2} = 0$$

풀어야 할 미지수는 $f_1$, $f_2$, $N_1$, $N_2$로 4개인데 식이 3개밖에 없어 미지수가 완전히 결정이 안 되는 구조이지만 수직항력만은 구할 수 있다.

$$ N_1 = \frac{Mg}{2} + \frac{Mah}{d}, $$

$$N_2 =\frac{Mg}{2}-\frac{Mah}{d}.$$

넘어지지 않기 위해서는 양발에 걸리는 수직항력이 0 보다 커야 한다. $N_1$은 항상 양수이므로 $N_2 \ge 0$ 조건에서 넘어지지 않을 최대 가속도는 

$$ a_\text{max} = \frac{dg}{2h}.$$

사람의 질량중심이 낮을수록($h$), 두 발을 넓게 벌릴수록($d$) 더 큰 가속도에 넘어지지 않고 견딜 수 있다. 그리고 몸무게에는 무관하다.

$h=100~\text{cm}, d=50~\text{cm}$ -> $a =2.45~{\rm m^2/s}$: 100 미터를 9초에 도달할 수 있는 가속도

경사면에서 마찰도 없다면 물체가 받는 힘은 중력과 수직항력뿐이다. 이 수직항력의 반작용 때문에 경사면은 밀려나게 된다. 수평 방향을 $x$-축, 수직 방향을 $y$-축으로 잡고 FBD을 이용해서 물체와 경사면의 운동 방정식을 쓰면, 경사면을 내려오는 물체의 가속도는

\begin{align} \sum F_x &= N \sin \theta =   ma_x , \\ \sum F_y &= N \cos \theta -mg      = ma_y. \end{align}

경사면은 수평 방향 운동만 가능하므로 수평 가속도는

$$\sum F_x = - N \sin \theta =  M a_X.$$

물체가 경사면에서만 움직이므로 $x_1$, $y_1$, $x_2$가 완전히 독립적일 수 없다:

$$\tan \theta = \frac{y_1}{x_2-x_1} =\text{const}\quad \longrightarrow \ddot{y}_1 = (\ddot{x}_2-\ddot{x}_1) \tan \theta \\ \text{or} \quad a_y = ( a_X- a_x) \tan \theta.$$

수직항력 $N$, 물체의 수평/수직 가속도 $a_x= \ddot{x}_1$, $a_y = \ddot{y}_1$, 그리고 경사면의 수평 가속도 $a_X=\ddot{x}_2$에 대한 4개의 식이 주어졌다. 이것을 풀면(연립 방정식이므로 쉽다).

\begin{gather} N = mg \frac{\cos \theta}{1 + \frac{m}{M} \sin ^2 \theta }, \\ a_x = g\frac{\sin \theta \cos \theta}{1 + \frac{m}{M} \sin ^2 \theta}, \quad a_y = - g \frac{ \Big(1+ \frac{m}{M}\Big) \sin ^2 \theta }{1 + \frac{m}{M} \sin ^2 \theta}, \\ a_X   = -g \frac{\frac{m}{M}\sin \theta\cos \theta}{1+\frac{m}{M} \sin ^2 \theta} \end{gather}

을 얻는다. 수평 방향이나 수직 방향 운동 모두 등가속도이다.

$M \gg m$인 경우를 보면, 경사면이 고정되어 있을 때 수직항력과 같음을 알 수 있다: $N\rightarrow mg\cos \theta$.

물체는 직선의 경로를 따라 내려가는데 그 각도는

$$ \tan \phi = \frac{|a_y|}{|a_x|} = \Big( 1 + \frac{m}{M}\Big) \tan \theta=\text{const}$$

이므로 경사면의 각보다 더 크다. 이는 경사면이 왼쪽으로 밀리기 때문이다.

1. 경사면과 같이 움직이는 관찰자가 볼 때 물체가 내려가는 가속도는?
2. 다 내려왔을 때 물체와 경사면의 속력은?
3. 다 내려왔을 때 물체와 경사면은 처음 수평 위치에서 얼마나 벗어났는가?

운동 방정식을 직접적으로 사용하지 않고 두 질문을 해결하는 방법은?

어려운 설명을 볼 수 있는 동영상:

youtu.be/xzKPlY4 Dnrw