버스가 갑자기 가속을 하면 사람은 넘어질 수 있다. 얼마정도의 가속도에서 넘어질까? 넘어지는 기준은 가속도 방향의 발이 바닥에서 떨어질 조건과 같다(물론 실제상황에서는 몸을 다시 움직여서 안 넘어지려는 시도를 할 수 있지만...여기서는 사람을 딱딱한 강체로 근사한다. 또한 미끄러짐은 생각하지 않는다)



사람에 작용하는 힘은 자신의 무게(무게 중심이 바닥에 h높이에 있다고 하자)와 양발에 작용하는 수직항력(두 발의 간격을 d라고 하자)과 차와 같이 움직이게하는데 필요한 마찰력이 있다 (그냥 서있어서 손잡이에 의한 힘은 무시한다). 사람의 자유물체도를 그리면


미끄러지지 않는다고 가정하면 사람의 질량중심은 버스와 같은 가속도로 움직인다. 질량중심의 운동방정식과 질량중심에 대한 회전방정식을 고려하면(질량중심에 대해서 f1, f2, N2는 반시계방향으로 회전시키려하고 N1은 시계방향으로 회전시키려 한다. 넘어지지 않은 상황에서는 이들 토크 사이에 균형이 있어야 한다)


미지수는 f1, f2, N1, N2 네개인데 식은 3개여서 미지수가 완전히 결정이 안되지만 수직항력은 구할 수 있다.


발이 바닥에서 떨어지면 수직항력이 0이 되고 넘어지므로, 넘어지지 않기 위해서는 수직항력 <=0 이어야 된다. N1은 항상 양수이므로 N2를 보면, 넘어지지 않기 위해서는 가속도가 


보다 작아야 한다. 질량중심이 낮을수록(h), 두 발을 넓게 벌릴수록(d) 더 큰 가속도에 넘어지지 않고 견딜 수 있다. 그리고 몸무게에는 무관하다.

h=100cm, d=50cm -> amax=2.45m/c^2: 100미터를 9초에 도달할 수 있는 가속도






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일정한 속도(u)로 달리는 기차 안에 만들어진 높이 h인 경사면에서 내려오는 물체가 바닥에 도착하기 직전 기차 안의 정지한 관찰자가 보는 속력(v)와 지상의 정지한 관찰자가 보는 속력 w를 비교해 보자.


1. 기차 안의 정지 관찰자;


2. 지상의 정지한 관찰자: 처음에 물체는 h높이에서 오른쪽으로 u의 속력으로 움직이고 있다가 바닥에 도착하기 직전에는 w의 속력으로 가진다. 역학적 에너지 보존을 쓰면



3. 그런데 두 관찰자가 보는 물체의 속도가 (지상에서 볼 때는 기차 안에서 물체의 속도에 기차 속도가 벡터적으로 더해진다)로 주어지므로 이식을 이용해서 w를 구하면


이므로 앞의 결과와 다른다. 


역학적 에너지 보존법칙은 관찰자에 따라 달라지는가? (그럴수는 없다) 무엇을 간과하고 있을까? 또, 어느 식이 옳은 식인가?


잘 생각해보면 이유를 알 수 있다.



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길이 L이고 질량이 M인 쇠사슬이 수직으로 바닥으로 떨어질 때 바닥이 받는 힘은?

우선 떨어지는 부분은 쇠사슬의 고리사이의 마찰등을 무시하면 오직 중력에 의해서 자유낙하한다. 쇠사슬이 바닥에 닿을 때 바닥으로 수직항력에 의해서 정지하기 된다. 따라서 떨어지는 부분에 작용하는 알짜힘은 자체의 중력과 바닥이 주는 수직항력이다. 떨어지는 부분의 질량 m(t)는 시간에 따라 계속 변하고, 자유낙하이므로 


로 주어진다. 운동방정식은 


그런데, 떨어지는 부분은 자유낙하하므로


을 만족한다. 따라서


쇠사슬이 완전히 바닥에 떨어지는데 걸리는 시간은 L 높이를 자유낙하하는데 걸린시간


이므로 다 떨어지는 순간 수직항력은 


따라서 이 순간 바닥에 작용하는 전체힘은 쇠사슬에 작용하는 수직항력의 반작용과 이미 떨어진 쇠사슬의 무게이므로





보다 직관적으로는 쇠사슬의 끝부분이 바닥에 닿는 순간 운동량이 유한한 값에서 0으로 변함므로 바닥으로부터 끊임없이 충격량을 받아야 한다. dm의 질량이 정지하려면 필요한 충격량은(수직항력이 제공)


다 내려오는 순간 쇠사슬의 속력은 


이므로, 


 


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마찰이 없는 수평면에 놓인 경사면 (질량 M) 위에 물체 (질량 m)가 내려올 때 받는 힘은 중력과 수직항력이 있다. 이 수직항력의 반작용때문에 경사면은 수평운동을 한다. 수직항력은 얼마인가?

수평방향을 x축, 수직방향을 y축으로 잡고, FBD을 이용해서 물체와 경사면의 운동방정식을 쓰면 

먼저, 물체의 운동방정식:



경사면의 운동은 수평방향만 있으므로


그리고 물체는 경사면에서만 움직이므로 x1, y1, x2가 완전히 독립적일 수 없다. 



 네개의 변수에 대한 4개의 식이 주어졌다. 이것들을 풀면.


을 얻는다. M>>m일 때를 보면 경사면이 움직이지 않을 때의 결과 와 일치함을 볼 수 있다.








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