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버스가 갑자기 가속을 하면 서 있는 사람은 넘어질 수 있다. 어느 정도의 가속도에서 넘어질까? 넘어지는 기준은 가속도 방향의 발이 바닥에서 떨어질 조건과 같다. (물론 실제 상황에서는 몸을 다시 움직여서 안 넘어지려는 시도를 할 수 있지만, 여기서는 사람을 딱딱한 강체로 근사한다. 또한 미끄러짐은 생각하지 않는다)

  1. dg/h
  2. dg/(2h)
  3. hg/d
  4. hg/(2d)
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사람에 작용하는 힘은 자신의 무게(무게 중심의 높이 = h)와 양발(간격 = d)에 작용하는 수직항력과 차와 같이 움직이게 하는데 필요한 마찰력이 있다. (그냥 서있어서 손잡이에 의한 힘은 무시한다) 사람의 자유물체도는 아래와 같다:

 

미끄러지지 않는다고 가정하면 사람의 질량중심은 버스와 같은 가속도로 움직인다. 질량중심의 운동 방정식과 질량중심에 대한 회전 운동 방정식을 고려하면(질량중심에 대해서 f1, f2, N2는 반시계 방향으로 회전시키려하고 N1은 시계 방향으로 회전시키려 한다. 넘어지지 않은 상황에서는 이들 토크 사이에 균형이 있어야 한다)

Fx=f1+f2=Ma,

Fy=N1+N2Mg=0,

τcm=(f1+f2)h+(N2N1)d2=0

풀어야 할 미지수는 f1, f2, N1, N2로 4개인데 식이 3개밖에 없어 미지수가 완전히 결정이 안 되는 구조이지만 수직항력만은 구할 수 있다.

N1=Mg2+Mahd,

N2=Mg2Mahd.

넘어지지 않기 위해서는 양발에 걸리는 수직항력이 0 보다 커야 한다. N1은 항상 양수이므로 N20 조건에서 넘어지지 않을 최대 가속도는 

amax=dg2h.

사람의 질량중심이 낮을수록(h), 두 발을 넓게 벌릴수록(d) 더 큰 가속도에 넘어지지 않고 견딜 수 있다. 그리고 몸무게에는 무관하다.

h=100 cm,d=50 cm -> a=2.45 m2/s: 100 미터를 9초에 도달할 수 있는 가속도

 

 

 

 
 
 
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일정한 속도(u)로 달리는 기차 안에 있는 높이 h인 경사면이 있다. 경사면의 꼭대기에서 내려오는 물체가 바닥에 도착하기 직전 기차 안의 정지한 관찰자가 보는 속력(v)과 지상의 정지한 관찰자가 보는 속력 w를 비교해 보자.

 

1. 기차 안의 정지 관찰자;

mgh=12mv2  v=2gh

2. 지상의 정지한 관찰자: 처음 물체는 h 높이에서 오른쪽으로 u의 속력으로 움직이고 있다가 바닥에 도착하기 직전에는 w의 속력으로 가진다. 역학적 에너지 보존을 쓰면

mgh+12mu2=12mw2  w=2gh+u2

3. 그런데 두 관찰자가 보는 물체의 속도가

w=v+u

(지상에서 볼 때는 기차 안에서 물체의 속도에 기차 속도가 벡터적으로 더해진다)로 연결되므로 이 식을 이용해서 w를 구하면

w=|v+u|=v2+u22uvcosθ=2gh+u22uvcosθ

이므로 앞의 결과와 다르다.

 

학적 에너지 보존법칙은 관찰자에 따라 달라지는가? (그럴 수는 없다) 무엇을 간과하고 있을까? 또, 어느 식이 옳은 식인가? 잘 생각해보면 이유를 알 수 있다.

 

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사슬(길이=L, 질량=M)이 수직으로 바닥으로 떨어진다. 다 떨어지는 순간 바닥이 받는 힘은?

1. Mg

2. 2Mg

3. 3Mg

 

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우선 떨어지는 부분은 사슬고리 사이의 마찰 등을 무시하면 오직 중력에 의해서 자유낙하한다. 사슬이 바닥에 닿을 때 바닥이 주는 충격력에( 바닥의 수직항력) 의해서 정지하게 된다. 따라서 떨어지는 부분(관심 대상은 떨어지고 있는 부분과 충격력에 의해서 순간 정지하는 미소 질량까지 포함된 계이다. 왜냐면 바닥의 충격력 f가 미소 질량에 외력으로 작용하기 때문임)에 작용하는 알짜힘은 자체의 중력과 바닥이 주는 충격력(f)이다. 떨어지는 부분의 질량 m(t)는 시간에 따라 계속 변하고, 자유낙하이므로 

y(t)=12gt2,m(t)=λ(Ly)=λ(L12gt2),

로 주어진다. 운동방정식은(아래 방향=+)

dpdt=Fy=mgf(t).

이다. 그리고

dpdt=d(mv)dt=dmdtv+mdvdt=λgt2+mg

이므로 떨어지는 부분이 바닥으로부터 받는 충격력은

λg2t2+mg=mgf(t)f(t)=λg2t2.

사슬이 완전히 바닥에 떨어지는데 걸리는 시간은 L 높이에서 자유낙하하는 데 걸린 시간

y=Lt=2Lg,

이므로 다 떨어지는 순간 f는 

f(y=L)=λg2(2Lg)2=2λgL=2Mg.

이 순간 바닥에 작용하는 알짜힘은 f의 반작용과 이미 바닥에 정지한 사슬의 무게이므로

Fbot=f(y=L)+Mg=3Mg.

 

 

보다 직관적으로는 사슬의 떨어지는 끝부분이 바닥에 닿는 순간 속도가 유한한 값에서 0으로 변하므로 바닥으로부터 끊임없이 충격량을 받아야 한다. dm의 질량이 정지하려면 바닥이 제공해야 할 충격량 dJ

dJ=dm(v0)=(λdy)vf=dJdt=λdydtv=λv2.

다 내려오는 순간 사슬의 속력은 v2=2gL 이므로,  f=λ(2gL)=2Mg.

 

참고 영상: https://www.youtube.com/watch?v=hoU_9DGMfzs

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