Processing math: 100%

1. A

2. B

3. A = B

힌트: A의 경우 막대자체가 회전을 하지는 않는다.

728x90
,

진자의 주기를 구할 때 보통 작은 진동 근사를 사용한다. 진자의 진폭이 크지 않는 경우 주기는 진폭에 무관하게 일정한 값 T0=2πg를 갖는다. 그럼 진폭이 커지는 경우는 어떻게 될까?

운동 방정식을 써도 되지만 역학적 에너지가 보존되므로 이를 이용하면(회전 관성: I=m2, 진폭=θ0)

12I(dθdt)2+mg(1cosθ)=const=mg(1cosθ0)(dθdt)2=2g(cosθcosθ0).

우변을 θ0, θ에 대해서 전개하면

(dθdt)2=g(θ20112θ40θ2+112θ4+...)=g(θ20θ2)(1112(θ20+θ2)+...)로 써지는데 작은 각 근사를 벗어났을 때 가장 큰 기여를 하는 (θ20+θ2)/12항이  음의 기여를 한다. 이는 같은 위치에서 작은 각 근사를 할 때보다 각속도가 더 작아짐을 의미한다. 따라서 진자가 더 느리게 움직여서 주기가 길어질 것이라는 예측을 구체적인 계산 없이도 할 수 있게 된다.

 

이제 주기를 구해보자. 에너지 보존식에서 변수 분리를 해서 적분하면 주기에 대한 식

T=dt=42gθ00dθcosθcosθ0을 얻는다. 여기서 sin(θ/2)=sin(θ0/2)sin(φ)로 치환을 하면

T=4gπ/20dφ1k2sin2φ,k2=sin2(θ0/2).

진폭이 작은 경우(θ01  k0)는 적분 값이 π2이므로 T2πg가 됨을 확인할 수 있다.  위 적분은 타원 적분이라고 부르고 k가 주어지면 수치 연산을 통해서 그 값을 얻을 수 있다. 

 

좀 더 직관적으로 진폭에 따른 주기의 변화를 보기 위해서 (진자의 경우 k212이므로) 급수 전개를 하면, 

11k2sin2φ=1+12k2sin2φ+1232k4sin4φ+

이므로 주기는

T=2πg[1+(12)2k2+(1234)2k4+](k=sinθ02)

로 표현된다. 이 식은 진자의 진폭(θ0)이 커지면 주기도 길어진다는 것을 명확히 보여준다.

강의동영상을 볼 수 있는 곳:

youtu.be/34zcw_nNFGU

 

728x90

'Physics > 역학' 카테고리의 다른 글

바닥에 먼저 닿는 물체는?  (0) 2021.01.21
마찰력은 도움이 될까?  (0) 2021.01.21
물이 새는 두레박이 달린 진자의 주기는  (0) 2021.01.17
왜 공은 움직이지 않을까?  (0) 2021.01.17
두레박이 달린 진자  (0) 2021.01.17
,