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줄이 팽팽해질 때 물체의 속력은?

Physics/역학 2020. 12. 20. 10:24

고정 회전축에 걸린 원판 둘레에 실이 감겨있고 실끝에 연결된 물체는 속도 $v <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>v</mi></math>$ 로 움직인다. 실이 팽팽해지는 순간 물체의 속력은?

1. $v / 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>v</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></math>$

2. $v / 3 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>v</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>3</mn></math>$

3. $2 v / 3 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mi>v</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>3</mn></math>$

3. 정보부족

https://kipl.tistory.com/218

추의 속력은?

높은 천정에 고정된 5 미터 줄의 반대편 끝에 추를 매달고 그림과 같은 위치에서 낙하시킨다. 줄이 팽팽해지는 직후 추의 속력은(m/s)? 1. $\sqrt 8 g <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>8</mn><mi>g</mi></msqrt></math>$ 2. $\sqrt 10 g <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>10</mn><mi>g</mi></msqrt></math>$ 3. $35√8g<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac><msqrt><mn>8</mn><mi>g</mi></msqrt></math>$ 4. $\frac..

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더 높이 올라가는 물체는?

Physics/역학 2020. 11. 24. 13:42

속도 $v <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>v</mi></math>$ 의 총알( $m <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi></math>$ )을 각각 길이 $L <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi></math>$ 인 줄에 매달린 물체( $M <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math>$ )와 길이 $L <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi></math>$ 인 막대( $M <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math>$ ) 끝을 향해 발사했다. 총알은 물체와 막대에 박힌 후 함께 운동한다. 두 물체가 올라갈 수 있는 최대 높이가 (수직에 대해서 기울어진 최대각) 더 큰 쪽은? 단, 막대를 지탱하는 회전축에 마찰은 없다.

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진동주기가 더 큰 쪽은?

Physics/역학 2020. 11. 2. 22:03

회전축에 대해서 자유롭게 진동할 수 있는 막대가 있다. 막대의 끝에 원판을 덧붙이는데, (A)의 경우 원판이 중심축에 대해서 자유롭게 회전할 수 있지만, (B)의 경우는 고정되어 있다. 막대를 진동시킬 때 주기가 더 긴 쪽은?

1. A

2. B

3. 같다.

4. 막대의 모양과 원판의 크기에 따라 달라질 수 있다.

* 강체의 에너지 관점에서 접근하면 복잡한 과정 없이도 답을 추론할 수 있다.

https://kipl.tistory.com/506 풀이:

물체의 운동방정식을 쓰면,

$md2xdt2=−2k(√x2+h2−h)×x√x2+h2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>m</mi><mfrac><mrow><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo stretchy="false">(</mo><msqrt><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>−</mo><mi>h</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>×</mo><mfrac><mi>x</mi><msqrt><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac></math>$

$h ≫ | x | <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>h</mi><mo>≫</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mi>x</mi><mo stretchy="false">|</mo></math>$ 이므로 정리하면 다음의 운동방정식을 얻는다.

$d2xdt2=−kmh2x3=−Dx3,D=kmh2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mfrac><mrow><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mi>k</mi><mrow><mi>m</mi><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>D</mi><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>,</mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="2em"></mspace></mstyle><mi>D</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>k</mi><mrow><mi>m</mi><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></math>$

이 방정식을 적분하면 주기 공식을 얻을 수 있지만 여기서는 차원해석을 쓰자. 운동방정식에 관여하는 물리량은 $D <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>D</mi></math>$ 와 초기조건에 해당하는 진폭( $A <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>$ ) 뿐이므로 주기는 이 두 물리량의 조합으로 쓰여져야 한다.

$T = C D α A β <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>T</mi><mo>=</mo><mi>C</mi><msup><mi>D</mi><mi>α</mi></msup><msup><mi>A</mi><mi>β</mi></msup></math>$ 여기서 $C <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi></math>$ 는 차원이 없는 상수이다. 양변의 차원을 비교하면 $α = - 1 / 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></math>$ , $β = - 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>β</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></math>$ 이어야 한다. 따라서 주기를

$T=C√DA<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>T</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>C</mi><mrow><msqrt><mi>D</mi></msqrt><mi>A</mi></mrow></mfrac></math>$

처럼 표현할 수 있으므로 진폭이 2배 되면 주기는 절반으로 줄어든다.

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