Geometry & Recognition

물체의 운동방정식을 쓰면,

$$ m \frac{d^2 x }{dt^2} = -2 k (\sqrt{x^2 +h^2}- h) \times \frac{x}{\sqrt{x^2 + h^2}}$$

$ h  \gg  |x|$이므로  정리하면 다음의 운동방정식을 얻는다.

$$ \frac{d^2 x }{dt^2} = -\frac{k}{m h^2}x^3 = -D x^3 ,\qquad D=\frac{k}{mh^2} $$

이 방정식을 적분하면 주기 공식을 얻을 수 있지만 여기서는 차원해석을 쓰자. 운동방정식에 관여하는 물리량은 $D$와 초기조건에 해당하는 진폭($A$) 뿐이므로 주기는 이 두 물리량의 조합으로 쓰여져야 한다. 

$$ T = C D^\alpha A^\beta$$여기서 $C$는 차원이 없는 상수이다. 양변의 차원을 비교하면 $\alpha=-1/2$, $\beta=-1$이어야 한다. 따라서 주기를

$$T = \frac{C}{\sqrt{D}A}$$

처럼 표현할 수 있으므로 진폭이 2배 되면 주기는 절반으로 줄어든다. 

(1) 줄을 자른 직전의 줄의 장력은?

- 각 줄은 막대 무게의 절반을 부담한다.

(2) 줄을 자른 직후의 잘리지 않은 줄에 걸리는 장력은?(막대가 여전히 나란한 상태)

- 막대에 작용하는 힘: 장력(윗방향), 중력(아래 방향);

- 중력이 막대의 왼쪽 끝을 축으로 회전시키려는 토크를 만든다.

막대의 회전은 왼쪽 끝을 기준으로 하거나 또는 질량중심을 기준으로 할 수 도 있다. 어느 쪽으로 보나 회전각은 동일하다. 왼쪽 끝을 기준으로 할 때 회전 방정식 (이 경우 중력만 시계방향으로 회전시키는 토크에 기여함)

이번에는 질량중심에 대한 회전 방정식을 고려하면 (이 경우 장력만 시계방향으로 회전시킨 토크에 기여)

두 회전 방정식을 비교하면 

즉, 장력이 처음보다 절반으로 줄어든다(오른쪽 줄이 없어지면 전체 질량을 다 견뎌야 할 것 같지만, 실제로는 원래보다 절반으로 줄어든다)

점검: 질량중심의 운동을 보면 장력과 중력이 작용하므로

그런데 회전운동에서 회전 각속도를 구할 수 있고 이를 이용해서 구한 질량중심 가속도와 비교하면 앞의 계산이 옳음을 체크할 수 있다:

이후 막대는 어떤 방식으로 움직이게 될까?

자가 넘어지는 것은 자(+지우개)의 무게에 의한 토크 때문이다. 그러나 토크를 주더라도 물체의 회전 관성에 따라 회전 속력의 변화율이 달라진다. 회전 관성이 클수록 회전상태를 변화시키기가 어렵다. (회전 관성에서 왜 관성이라 단어가 붙었는지에 대한 이유다)

물체를 회전시키려는 토크는 회전축에서 무게중심까지의 거리에 비례하지만, 물체가 현재의 운동 상태를 유지하려는 경향을 나타내는 회전 관성은 회전축에서 무게중심까지의 거리의 제곱에 비례한다. 따라서 무게중심이 회전축에서 멀리 떨어진 경우가 회전 속력의 변화가 더디게 된다. 이는 망치를 손바닥 위에 세우려고 할 때 머리를 손바닥에 위치하게 세우는 것보다 손잡이 끝을 손바닥에 놓고 세우기가 더 수월한 이치와 같다. 정량적인 설명도 가능하다.