두레박이 달린 진자

줄에 매달린 두레박에 물을 넣고 조금 흔들면 일정한 주기로 진동을 한다. 이 두레박의 물을 얼리면 진동의 주기는 어떻게 변할까?

1. 변함없다

2. 증가한다.

3. 감소한다.

https://kipl.tistory.com/494 풀이:

$b=a/2$인 경우

질량중심의 운동에너지와 위치에너지를 구해야 한다. 접촉점이 이동한 거리가 $R\theta$이므로 질량중심의 위치는 (작은 진동만 고려하면 $\theta^2$항까지만 유지하면 된다)
\begin{align*}
x &= (R+b)\sin \theta -R \theta \cos \theta 
\approx (R+b)\theta -R\theta(1-\frac{1}{2} \theta ^2  )= b \theta\\
y &= (R+b) \cos \theta + R \theta \sin \theta 
\approx  (R+b) (1-\frac{1}{2} \theta ^2 ) + R\theta^ 2=(R+b) + \frac{1}{2} (R-b) \theta^2
\end{align*}
따라서 질량중심의 속도 성분은 작은각 근사를 할 때,
\begin{align*}
\dot{x} &= (R+b) \cos \theta \dot{\theta} - R \dot{\theta} \cos \theta + R \theta \sin \theta \dot {\theta}
 \approx  b \dot{ \theta } \\
\dot{y} & \approx  0
\end{align*}
운동에너지와 위치에너지는
\begin{align*}
K  & \approx  \frac{1}{2}  m b^2 \dot {\theta }^2 
+ \frac{1}{2} \frac{1}{6} m (2b)^2  \dot { \theta }  ^2 
= \frac{5}{6} mb^2 \dot{\theta}^2  \\
U &= mgy  
\approx  mg(R+b)(1-\frac{1}{2} \theta ^2 ) + mgR \theta ^2 
= mg(R+b) +\frac{1}{2} mg  (R-b) \theta ^2
\end{align*}

역학적 에너지가 보존되므로 이를 시간에 대해 미분하면
$$
\frac{5}{3}mb^2 \ddot{ \theta} \dot {\theta}+ mg (R - b) \theta \dot{\theta} =0
\Longrightarrow
\ddot{ \theta} +  \frac{3 g(R-b)}{5b^2} \theta = 0
$$

따라서 각진동수는
$$ \therefore ~\omega^2 =  \frac{3 g(R-b)}{5b^2}$$