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줄에 매달린 두레박에 물을 넣고 조금 흔들면 일정한 주기로 진동을 한다. 이 두레박의 물을 얼리면 진동의 주기는 어떻게 변할까?

1. 변함없다

2. 증가한다.

3. 감소한다.

https://kipl.tistory.com/494 풀이:

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b=a/2인 경우

질량중심의 운동에너지와 위치에너지를 구해야 한다. 접촉점이 이동한 거리가 Rθ이므로 질량중심의 위치는 (작은 진동만 고려하면 θ2항까지만 유지하면 된다)
x=(R+b)sinθRθcosθ(R+b)θRθ(112θ2)=bθy=(R+b)cosθ+Rθsinθ(R+b)(112θ2)+Rθ2=(R+b)+12(Rb)θ2
따라서 질량중심의 속도 성분은 작은각 근사를 할 때,
˙x=(R+b)cosθ˙θR˙θcosθ+Rθsinθ˙θb˙θ˙y0
운동에너지와 위치에너지는
K12mb2˙θ2+1216m(2b)2˙θ2=56mb2˙θ2U=mgymg(R+b)(112θ2)+mgRθ2=mg(R+b)+12mg(Rb)θ2

역학적 에너지가 보존되므로 이를 시간에 대해 미분하면
53mb2¨θ˙θ+mg(Rb)θ˙θ=0¨θ+3g(Rb)5b2θ=0

따라서 각진동수는
 ω2=3g(Rb)5b2

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