실린더 위에서 흔들리는 정육면체의 진동 주기는?

실린더 꼭대기에 정육면체 모양의 물체를 놓은 후 살짝 흔든다. 물체와 실린더 사이의 마찰은 충분해서 미끄러짐은 없다.

A. 물체가 굴러 떨어지지 않고 제자리에서 안정적으로 흔들리기 위한 조건은?

1. $a<2R$
2. $a<R$
3. $a<\frac{1}{2}R$
4. $a<\frac{1}{4}R$

B. 흔들림의 폭이 작을 때 주기는?

풀이는 https://kipl.tistory.com/272 하단에서

https://kipl.tistory.com/496 풀이:

반구의 질량중심은 구 중심에서 $\frac{3}{8}R$ 아래에 있다. 그리고 반구의 중심에 대한 회전관성은 $I_{c} = \frac{2}{5} MR^2$이다(같은 질량의 온전한 구의 회전관성과 같다). 따라서 질량중심을 지나고 지면에 수직인 축에 대한 회전관성은 $I_{cm}=I_c - M(\frac{3}{8} R)^2 = \frac{83}{320} MR^2$. 수직에 대해 $\theta$ 만큼 굴렸을 때 질량중심의 좌표는 그림에서 보면 (작은 진동만 고려하면 되므로 $\theta^2$ 항까지만 고려하면 된다)
$$\begin{align} x &= R \theta - \frac{3}{8}R \sin \theta \approx \frac{5}{8} R \theta \\ y &= R - \frac{3}{8}R \cos \theta \approx \frac{5}{8}R + \frac{3}{16} R \theta^2 . \end{align}$$
역학적 에너지가 보존되므로 우선 운동에너지와 위치에너지를 각각 구하면
$$\begin{align*} K & =\frac{1}{2} M(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 )+ \frac{1}{2} I \dot{\theta}^2 \approx \frac{1}{2} M \Big( \frac{5}{8} R \dot \theta \Big)^2 + \frac{1}{2} \frac{83}{320 } M R^2 \dot{\theta}^2 = \frac{13}{40} MR^2 \dot{\theta}^2 \\ U &=Mgy\approx Mg \frac{5}{8}R + Mg\frac{3}{16}R \theta^2  = \frac{5}{8}mgR + \frac{3}{16} MgR \theta ^2 \end{align*}$$

또다른 방법으로는 접촉점에 대한 순간회전을 한다는 사실을 이용하면 운동에너지는 쉽게 구할 수 있다. 접촉점에서 반구의 질량중심까지의 거리는

$$d^2 = R^2 + (\frac{3R}{8})^2 -2\frac{3}{8}R^2 \cos \theta=\left( \frac{73}{64}-\frac{3}{4}\cos \theta\right)R^2$$ 이므로, 접촉점에 대한 회전관성은 

$$I_\text{IAOR} = Md^2 + \frac{83}{320}MR^2$$

이고 운동에너지는 

$$K = \frac{1}{2} I_\text{IAOR} \dot{\theta}^2$$ 으로 주어지는데 위에서 구한 결과와 같다.

역학적 에너지를 시간에 대해 미분해서 운동방정식을 구하면
$$\ddot{ \theta} + \frac{15}{26} \frac{g}{R} \theta = 0  \quad \Longrightarrow\quad \omega^2=\frac{15}{26}\frac{g}{R}$$