Geometry & Recognition

도르래에 선밀도가 $\lambda$인 충분히 줄이 걸쳐있고(바닥에 쌓인 줄의 길이는 충분하다), 줄의 중간에 원숭이가 아래로 내려가지 않도록 하기 위해서 줄을 아래로 일정한 속도로 당긴다. 얼마의 속도로 당겨야 하는가? 

힌트: 줄 자체의 무게는 도르래 양쪽에 같은 길이의 줄이 늘어져 있으므로 고려할 필요가 없다. 원숭이가 아래로 내려가지 않게 하기 위해서는 줄을 아래로 당겨야 한다. 이 힘의 반작용이 원숭이의 중력과 같으면 원숭이는 줄의 중간에서 일정한 높이를 유지하면서 있을 수 있다. 줄이 일정한 속도 $v$로 움직이면 오른쪽 바닥에 정지해 있는 줄이 속도 0에서 $v$로 변하게 되는데 이 과정에서 필요한 impulsive force은 $T=vdm/dt=\lambda v^2$이다. 이 힘이 원숭이의 무게와 같으면 원숭이는 제자리에 정지상태를 유지할 수 있다.

$$mg=\lambda v^2\to v=\sqrt{\frac{mg}{\lambda }}$$

양끝이 줄에 연결된 채 천정에서 떨어지는 막대가 있다. 줄이 팽팽해지기 직전 막대의 속도는 $v$이고, 왼쪽 줄은 팽팽해진 직후 수직에 대해서 ${30}^{\circ }$를 이룬다. 줄이 팽팽해진 직후 막대 양끝의 속력은 각각 얼마인가?

풀이:

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줄이 팽팽해지면 막대의 양끝은 순간적으로 원운동을 한다. 따라서 속도의 방향은 각각 줄에 수직한 방향(왼쪽 끝은 3 사분면, 오른쪽 끝은 왼쪽방향)을 향한다. 막대는 한 점에 대해서 순간적으로 회전을 한다고 볼 수 있는데 이 회전축은 속도 방향을 고려하면 오른쪽 끝에서 $\sqrt{3}L$ 아래에 있게 된다. 

팽팽해지기 직전 막대의 이 순간회전축에 대한 각운동량은 막대가 질량중심에 대해 회전하지 않았기 때문에 

${\ell }_0=mv\frac{L}{2}$이고, 팽팽해진 줄은 힘방향과 순간적인 회전축에서 작용점의 변위가 같은 방향이어서 토크를 만들지 못하므로 각운동량은 줄이 팽팽해지는 과정에서 보존이 된다(중력은 impulsive가 아니므로 고려할 필요가 없다)

순간적인 회전축에 대한 회전관성이 $$I=\frac{1}{12}m{L}^2+m(3L^2+\frac{1}{4}{L}^2)=\frac{10}{3}m{L}^2$$

이므로 팽팽해진 직후의 막대의 각속도를 $\omega$라고 하면 각운동량 보존에서 

$$mv\frac{L}{2}=I\omega =\frac{10}{3}m{L}^2\omega \to \omega =\frac{3}{20}\frac{v}{L}$$

이다. 따라서 

$$\begin{array}{rl}& v_{\text{left}}=(2L)\omega =\frac{3}{10}v\\ & v_{\text{right}}=(\sqrt{3}L)\omega =\frac{3\sqrt{3}}{20}v\end{array}$$

고정 회전축에 걸린 원판 둘레에 실이 감겨있고 실끝에 연결된 물체는 속도 $v$로 움직인다. 실이 팽팽해지는 순간 물체의 속력은?

1. $v/2$

2. $v/3$

3. $2v/3$

3. 정보부족

https://kipl.tistory.com/218