양끝이 줄에 연결된 채 천정에서 떨어지는 막대가 있다. 줄이 팽팽해지기 직전 막대의 속도는 $v$이고, 왼쪽 줄은 팽팽해진 직후 수직에 대해서 $30^\circ$를 이룬다. 줄이 팽팽해진 직후 막대 양끝의 속력은 각각 얼마인가?
풀이:
줄이 팽팽해지면 막대의 양끝은 순간적으로 원운동을 한다. 따라서 속도의 방향은 각각 줄에 수직한 방향(왼쪽 끝은 3 사분면, 오른쪽 끝은 왼쪽방향)을 향한다. 막대는 한 점에 대해서 순간적으로 회전을 한다고 볼 수 있는데 이 회전축은 속도 방향을 고려하면 오른쪽 끝에서 $\sqrt {3} L$ 아래에 있게 된다.
팽팽해지기 직전 막대의 이 순간회전축에 대한 각운동량은 막대가 질량중심에 대해 회전하지 않았기 때문에
$ \ell_0 = mv\frac{L}{2}$이고, 팽팽해진 줄은 힘방향과 순간적인 회전축에서 작용점의 변위가 같은 방향이어서 토크를 만들지 못하므로 각운동량은 줄이 팽팽해지는 과정에서 보존이 된다(중력은 impulsive가 아니므로 고려할 필요가 없다)
순간적인 회전축에 대한 회전관성이 $$I = \frac {1}{12} mL^2 + m \left( 3L^2 + \frac {1}{4} L^2 \right) = \frac {10}{3} mL^2$$
이므로 팽팽해진 직후의 막대의 각속도를 $\omega$라고 하면 각운동량 보존에서
$$ mv\frac {L}{2} = I \omega = \frac {10}{3} mL^2 \omega ~\to ~ \omega = \frac {3}{20} \frac {v}{L}$$
이다. 따라서
\begin{align} &v_\text {left} = (2L) \omega = \frac {3}{10} v \\ &v_\text{right}= (\sqrt{3}L) \omega = \frac{3 \sqrt {3}}{20} v \end{align}
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