Geometry & Recognition

질량 $M_{\ast }$이고, 반지름이 $R_{\ast }$인 행성의 표면에 그림과 같이 밑변이 서로 연결된 $N$개의 물기둥(communicating vessels)을 고려하자. 각 물기둥의 단면적은 $A_i$이고, 처음 물기둥의 (별의 중심에서 잰) 높이는 $R_i\ge R_{\ast }$로 되어 있다. 이웃하는 물기둥을 연결하는 밸브를 열기 전 물기둥에 담긴 물의 중력위치에너지는 (물의 밀도 $\rho$)

$$U_{\text{initial}}=-\sum {\int }_{R_{\ast }}^{R_i}\frac{G{M}_{\ast }\rho A_{i}dr}{r}=-G{M}_{\ast }\rho \sum A_i\ln \left(\frac{R_i}{R_{\ast }}\right)$$

이제 관을 연결하는 밸브를 모두 열면 수압의 차이에 의해서 각 물기둥 사이에 물의 교환이 생기게 되고, 결국에는 모든 물기둥의 높이는 공통의 값 $R_i\to \bar{R}$을 가지게 되어 더 이상 물의 교환이 생기지 않는 평형상태에 도달한다. 이 과정에서 물의 총량(총 부피)은 보존이 되므로 

$$\sum A_i(R_i-R_{\ast })=\sum A_i(\bar{R}-R_{\ast })$$

를 만족하므로 평형상태에서 물기둥의 높이는
$$\bar{R}=\frac{\sum A_i{R}_i}{\sum A_i}=\sum p_i{R}_i,p_i\equiv \frac{A_i}{\sum A_k}$$

물기둥이 평형에 이르기 위해서는 일부 에너지를 마찰등에 의해서 일어버리는 과정이 있어야 한다. 그렇지 않으면 각각의 물기둥은 영원히 출렁거리게 된다. 평형이 이르는 물리적인 프로세스가 다음의 부등식이 항상 성립함을 보증함을 알 수 있다.

$$\begin{gathered} U_{\text{initial}}\ge U_{\text{final}} \\ -G{M}_{\ast }\rho \sum A_i\ln \left(\frac{R_i}{R_{\ast }}\right)\ge -G{M}_{\ast }\rho \sum A_i\ln \left(\frac{\overline{R}}{R_{\ast }}\right) \end{gathered}$$

등호는 처음 물기둥의 높이가 모두 같은 경우에 성립한다.  이 식을 다시 정리하면 각각의 물기둥의 단면적으로 가중치를 준 물기둥 높이의 산술평균(arithmatic mean)은 기하평균(geometric mean)보다도 크거나 같다는 것을 보여준다.

$$\bar{R}\ge \prod R_i^{p_i}$$

$R_i$가 일반적인 양의 실수이므로 위 부등식은 일반적인 양의 실수 사이의 가중치 산술평균과 기하평균 사이에 다음의 부등식이 성립함을 의미한다.

$$\sum p_i{R}_i\ge \prod R_i^{p_i},(\sum p_i=1,p_i\ge 0)$$

이 부등식은 수학적인 증명 대신 물리계인 communicating vessels 시스템이 평형상태에 도달하는 과정에서 물의 양은 보존되지만, 평형상태에 이르는 과정에서 계가 항상 더 낮은 에너지 상태로 옳겨간다는 사실만을 이용하여 보였다.

이제 물기둥 시스템의 크기가 행성의 크기보다 매우 작을 때를 고려하자. 즉, 행성 표면에서 잰 물기둥의 높이가 $h_i=R_i-R_{\ast }\ll R_{\ast }$인 경우 앞의 결과를 $h_i^2$의 order까지 전개하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$$-\frac{G{M}_{\ast }\rho }{R_{\ast }^2}\sum A_i(R_{\ast }\overline{h}-\frac{1}{2}{\overline{h}}^2)\ge -\frac{G{M}_{\ast }\rho }{R_{\ast }^2}\sum A_i(R_{\ast }{h}_i-\frac{1}{2}{h}_i^2)$$

$\sum A_i\bar{h}=\sum A_i{h}_i$이므로 

$$\frac{\sum A_i{h}_i^2}{\sum A_j}\ge {\overline{h}}^2$$

따라서, $x_i^2=A_i{h}_i^2$, $y_i^2=A_i$로 놓으면, ${\overline{h}}^2=(\sum A_i{h}_i{)}^2/(\sum A_k{)}^2=(\sum x_i{y}_i{)}^2/(\sum y_i^2{)}^2$이므로 위의 결과에서 Cauchy-Schwartz 부등식을 얻을 수 있음을 알려준다. $$(\sum x_i^2)(\sum y_i^2)\ge {(\sum x_i{y}_i)}^2$$