두 개의 동일한 용수철(늘어나지 않은 길이=$h$)에 연결된 물체를 $x$방향으로 1cm 만큼 당긴 후 놓았더니 주기가 1초인 진동을 한다. 만약 당긴 거리를 2cm로 하면 진동의 주기는 어떻게 될까? 단, $h \gg 2\text{cm}$이다.
A) 1초
B) 2초
C) 0.5초
D) 정보가 부족하다.
차원해석이면 충분하다. 풀이는 https://kipl.tistory.com/199
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균일한 밀도의 구형 먼지구름이 생성되었다. 먼지와 먼지 사이의 충돌을 무시하면(팽창하려는 압력을 무시) 중력 때문에 먼지구름은 붕괴를 시작해서 한 점에 모이게 된다. 이 중력 붕괴에 걸리는 시간은 처음 먼지 구름의 반지름($R$)에 어떻게 의존할까?
힌트: 차원해석을 이용하라. 붕괴 시간은 만유인력 상수(G), 밀도, 반지름으로 표현이 될 수 있다.
풀이는 https://kipl.tistory.com/434의 하단
무한히 긴 두 막대가 그림처럼 교차하고 있다. 각 막대의 단위 길이당 질량은 $\rho$로 일정하고, 두 막대의 가장 가까운 거리는 $a$이다. 두 막대 사이에 작용하는 중력은?
이 문제의 차원을 가지는 물리량은 중력상수, 선밀도, 거리 $a$이므로 중력은 이들의 조합으로 써질 것이다.
$$F \propto G^\delta \rho^\beta a^\gamma $$
양변의 차원이 같아야 하므로 $\delta =1$, $\beta=2$, $\gamma=0$임을 알 수 있다: $F \propto G \rho^2$. 따라서 떨어진 거리 $a$에 무관하다. 물론 $\alpha=0$인 경우는 발산하다. $\alpha$에 대한 의존도는 $\alpha$ 자체가 차원이 없으므로 차원해석으로 구할 수 없고, 직접 적분을 해야하는데 그 결과는 \[ F= \frac{2\pi G \rho^2}{\sin \alpha} \]
두 번째 질문: 막대의 길이$=L$이 충분히 길지만 $(L \gg a)$ 유한하다면 힘은 무한히 긴 경우에서 약간 벗어난 형태로 표현될 것이다. 벗어난 정도는 어떤 식으로 표현될까?
힌트: 구체적인 적분이 필요하지 않고 차원해석만 사용할 수 있으면 답을 추측할 수 있다. 그리고 전기력에 대해서도 같은 질문을 할 수 있다.
* https://kipl.tistory.com/473 풀이:
중력 붕괴 상황에서 관여하는 물리량은 중력상수(G), 밀도 ($\rho$), 그리고 별의 크기 ($R$)뿐이다. 따라서 중력붕괴에 걸리는 시간도 이 세 물리량에만 의존할 것이다.
$$T \sim G^a \rho^b R^c$$
양변의 차원을 맞추어 보면, $[G]={\rm m^3 /kg.s^2}$, $ [ \rho] = {\rm kg/m^3 }$이므로
$$ T\sim G^{-1/2}\rho^{-1/2} R^0=\frac{1}{\sqrt{G \rho}}$$
이어야 한다. 즉, 중력붕괴에 걸리는 시간은 처음 반지름에 무관하다.
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