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진동 운동의 진폭이 변할 때 주기는?

Physics/역학 2023. 8. 8. 17:33

두 개의 동일한 용수철(늘어나지 않은 길이= $h <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>h</mi></math>$ )에 연결된 물체를 $x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>$ 방향으로 1cm 만큼 당긴 후 놓았더니 주기가 1초인 진동을 한다. 만약 당긴 거리를 2cm로 하면 진동의 주기는 어떻게 될까? 단, $h ≫ 2 cm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>h</mi><mo>≫</mo><mn>2</mn><mtext>cm</mtext></math>$ 이다.

A) 1초

B) 2초

C) 0.5초

D) 정보가 부족하다.

차원해석이면 충분하다. 풀이는 https://kipl.tistory.com/199

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중력 붕괴에 걸리는 시간은?

Physics/역학 2022. 10. 9. 15:41

균일한 밀도의 구형 먼지구름이 생성되었다. 먼지와 먼지 사이의 충돌을 무시하면(팽창하려는 압력을 무시) 중력 때문에 먼지구름은 붕괴를 시작해서 한 점에 모이게 된다. 이 중력 붕괴에 걸리는 시간은 처음 먼지 구름의 반지름( $R <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi></math>$ )에 어떻게 의존할까?

$R <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi></math>$ 에 비례
$R 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup></math>$ 에 비례
$\sqrt R <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mi>R</mi></msqrt></math>$ 에 비례
$R <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi></math>$ 에 무관

힌트: 차원해석을 이용하라. 붕괴 시간은 만유인력 상수(G), 밀도, 반지름으로 표현이 될 수 있다.

풀이는 https://kipl.tistory.com/434의 하단

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긴 막대 사이에 작용하는 중력은?

Physics/역학 2022. 2. 24. 16:38

무한히 긴 두 막대가 그림처럼 교차하고 있다. 각 막대의 단위 길이당 질량은 $ρ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ρ</mi></math>$ 로 일정하고, 두 막대의 가장 가까운 거리는 $a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math>$ 이다. 두 막대 사이에 작용하는 중력은?

$a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math>$ 의 제곱에 반비례한다.
$a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math>$ 에 반비례한다.
$a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math>$ 에 무관하다.

이 문제의 차원을 가지는 물리량은 중력상수, 선밀도, 거리 $a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math>$ 이므로 중력은 이들의 조합으로 써질 것이다.

$F \propto G δ ρ β a γ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>F</mi><mo>\propto</mo><msup><mi>G</mi><mi>δ</mi></msup><msup><mi>ρ</mi><mi>β</mi></msup><msup><mi>a</mi><mi>γ</mi></msup></math>$

양변의 차원이 같아야 하므로 $δ = 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>δ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>$ , $β = 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math>$ , $γ = 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>γ</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>$ 임을 알 수 있다: $F \propto G ρ 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mo>\propto</mo><mi>G</mi><msup><mi>ρ</mi><mn>2</mn></msup></math>$ . 따라서 떨어진 거리 $a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math>$ 에 무관하다. 물론 $α = 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>$ 인 경우는 발산하다. $α <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math>$ 에 대한 의존도는 $α <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math>$ 자체가 차원이 없으므로 차원해석으로 구할 수 없고, 직접 적분을 해야하는데 그 결과는 $F=2πGρ2sinα<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>F</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>G</mi><msup><mi>ρ</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math>$

두 번째 질문: 막대의 길이 $= L <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>L</mi></math>$ 이 충분히 길지만 $(L ≫ a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><mi>L</mi><mo>≫</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 유한하다면 힘은 무한히 긴 경우에서 약간 벗어난 형태로 표현될 것이다. 벗어난 정도는 어떤 식으로 표현될까?

힌트: 구체적인 적분이 필요하지 않고 차원해석만 사용할 수 있으면 답을 추측할 수 있다. 그리고 전기력에 대해서도 같은 질문을 할 수 있다.

* https://kipl.tistory.com/473 풀이:

중력 붕괴 상황에서 관여하는 물리량은 중력상수(G), 밀도 ( $ρ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ρ</mi></math>$ ), 그리고 별의 크기 ( $R <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi></math>$ )뿐이다. 따라서 중력붕괴에 걸리는 시간도 이 세 물리량에만 의존할 것이다.

$T \sim G a ρ b R c <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>T</mi><mo>\sim</mo><msup><mi>G</mi><mi>a</mi></msup><msup><mi>ρ</mi><mi>b</mi></msup><msup><mi>R</mi><mi>c</mi></msup></math>$

양변의 차원을 맞추어 보면, $[G] = m 3 / k g . s 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">[</mo><mi>G</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mn>3</mn></msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mi mathvariant="normal">k</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>.</mo><msup><mi mathvariant="normal">s</mi><mn>2</mn></msup></mrow></math>$ , $[ρ] = k g / m 3 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">[</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="normal">k</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mn>3</mn></msup></mrow></math>$ 이므로

$T∼G−1/2ρ−1/2R0=1√Gρ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>T</mi><mo>∼</mo><msup><mi>G</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>−</mo><mn>1</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>ρ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>−</mo><mn>1</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>R</mi><mn>0</mn></msup><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mi>G</mi><mi>ρ</mi></msqrt></mfrac></math>$

이어야 한다. 즉, 중력붕괴에 걸리는 시간은 처음 반지름에 무관하다.

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