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두 개의 동일한 용수철(늘어나지 않은 길이=h)에 연결된 물체를 x방향으로 1cm 만큼 당긴 후 놓았더니 주기가 1초인 진동을 한다.  만약 당긴 거리를 2cm로 하면 진동의 주기는 어떻게 될까?  단, h2cm이다.

 

A) 1초

B) 2초

C) 0.5초

D) 정보가 부족하다.

 

차원해석이면 충분하다. 풀이는 https://kipl.tistory.com/199

 
 
 
 
 
 
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균일한 밀도의 구형 먼지구름이 생성되었다. 먼지와 먼지 사이의 충돌을 무시하면(팽창하려는 압력을 무시) 중력 때문에 먼지구름은 붕괴를 시작해서 한 점에 모이게 된다. 이 중력 붕괴에 걸리는 시간은 처음 먼지 구름의 반지름(R)에 어떻게 의존할까?

  1. R에 비례
  2. R2에 비례
  3. R에 비례
  4. R에 무관

힌트: 차원해석을 이용하라. 붕괴 시간은 만유인력 상수(G), 밀도, 반지름으로 표현이 될 수 있다.

풀이는 https://kipl.tistory.com/434의 하단

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무한히 긴 두 막대가 그림처럼 교차하고 있다. 각 막대의 단위 길이당 질량은 ρ로 일정하고, 두 막대의 가장 가까운 거리는 a이다. 두 막대 사이에 작용하는 중력은?

  1. a의 제곱에 반비례한다.
  2. a에 반비례한다.
  3. a에 무관하다.
더보기

이 문제의 차원을 가지는 물리량은 중력상수, 선밀도, 거리 a이므로 중력은 이들의 조합으로 써질 것이다.

FGδρβaγ

양변의 차원이 같아야 하므로 δ=1, β=2γ=0임을 알 수 있다: FGρ2. 따라서 떨어진 거리 a에 무관하다. 물론 α=0인 경우는 발산하다. α에 대한 의존도는 α 자체가 차원이 없으므로 차원해석으로 구할 수 없고, 직접 적분을 해야하는데 그 결과는 F=2πGρ2sinα

두 번째 질문: 막대의 길이=L이 충분히 길지만 (La) 유한하다면 힘은 무한히 긴 경우에서 약간 벗어난 형태로 표현될 것이다. 벗어난 정도는 어떤 식으로 표현될까?

 

힌트: 구체적인 적분이 필요하지 않고 차원해석만 사용할 수 있으면 답을 추측할 수 있다. 그리고 전기력에 대해서도 같은 질문을 할 수 있다.

 

* https://kipl.tistory.com/473 풀이:

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중력 붕괴 상황에서 관여하는 물리량은 중력상수(G), 밀도 (ρ), 그리고 별의 크기 (R)뿐이다. 따라서 중력붕괴에 걸리는 시간도 이 세 물리량에만 의존할 것이다. 

TGaρbRc

양변의 차원을 맞추어 보면, [G]=m3/kg.s2, [ρ]=kg/m3이므로 

TG1/2ρ1/2R0=1Gρ

이어야 한다. 즉, 중력붕괴에 걸리는 시간은 처음 반지름에 무관하다. 

 
 
 
 
 
 
 
 
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